Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E
£
(X
1
− µ
1
)
k
1
···(X
n
− µ
n
)
k
n
¤
,
µ
i
= EX
i
X
(n)
. λ
ij
=
E(X
i
− µ
i
)(X
j
− µ
j
), i, j = 1, . . . , n. Λ = kλ
ij
k
cov(X
i
, X
j
) = λ
ij
. Λ
σ
2
i
= λ
ii
= cov(X
i
, X
i
)
X
i
, i = 1, . . . , n X
(n)
,
λ
ij
i 6= j
X
i
X
j
.
X Y g(X)
h(Y )
|Eg(X)h(Y )| ≤
£
Eg
2
(X)Eh
2
(Y )
¤
1/2
g h
a b, P (ag(X) + bh(Y ) = 0)
= 1.
g(X) = X−µ
X
h(Y ) = Y −µ
Y
,
µ
X
= EX, µ
Y
= EY. X Y
cov(X, Y ) = E(X − µ
X
)(Y − µ
Y
) =
E(X −µ
X
)E(Y −µ
Y
) = 0,
X Y Y −µ
Y
= a(X−µ
X
),
cov(X, Y ) =
 Ÿ9. Ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
       Ìóëüòèíîìèàëüíîå è ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå
                      ðàñïðåäåëåíèÿ
   Äëÿ îïèñàíèÿ ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ðàññåÿíèÿ è ôîðìû ìíîãîìåð-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåí-
òû, âû÷èñëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ îò ïðîèçâåäåíèÿ ðàçëè÷-
íûõ ñòåïåíåé öåíòðèðîâàííûõ ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè êîìïîíåíò ñëó÷àéíî-
ãî âåêòîðà:           £                         ¤
                       E (X1 − µ1 )k1 · · · (Xn − µn )kn ,
ãäå µi = EXi  âåêòîð ñðåäíèõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà
X (n) . Ìû áóäåì èìåòü äåëî òîëüêî ñ ìîìåíòàìè âòîðîãî ïîðÿäêà λij =
E(Xi − µi )(Xj − µj ), i, j = 1, . . . , n. Ìàòðèöà Λ = kλij k ìîìåíòîâ âòîðîãî
ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé èëè ìàòðèöåé êîâàðèàöèé
cov(Xi , Xj ) = λij . Åñòåñòâåííî, äèàãîíàëü êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû Λ ñî-
ñòàâëÿþò äèñïåðñèè σi2 = λii = cov(Xi , Xi ) ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò
Xi , i = 1, . . . , n ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X (n) , â òî âðåìÿ êàê ñìåøàííûå ìî-
ìåíòû λij ïðè i 6= j õàðàêòåðèçóþò ñòåïåíü ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè êîìïî-
íåíò Xi è Xj . Ýòîò òåðìèí òðåáóåò ñïåöèàëüíîãî îáñóæäåíèÿ, ââèäó åãî
èñêëþ÷èòåëüíîé ðàñïðîñòðàíåííîñòè â ïðèëîæåíèÿõ ìíîãîìåðíîãî ñòàòè-
ñòè÷åñêîãî àíàëèçà.
    Âñå âåðòèòñÿ îêîëî ñëåäóþùåãî ëåáåãîâñêîãî âàðèàíòà èçâåñòíîãî íåðà-
âåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî.
  Íåðàâåíñòâî Øâàðöà. Ïóñòü X è Y  ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à g(X)
è h(Y )  èçìåðèìûå ôóíêöèè îò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, îáëàäàþùèå
êîíå÷íûìè âòîðûìè ìîìåíòàìè. Òîãäà
                                  £                ¤1/2
                    |Eg(X)h(Y )| ≤ Eg 2 (X)Eh2 (Y )

ñ ðàâåíñòâîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèè g è h ëèíåéíî ñâÿçàíû:
ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå a è b, ÷òî P (ag(X) + bh(Y ) = 0)
= 1.
   Ïðèìåíèì ýòî íåðàâåíñòâî ê ôóíêöèÿì g(X) = X −µX è h(Y ) = Y −µY ,
ãäå µX = EX, µY = EY. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñè-
ìû, òî, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 8.3á cov(X, Y ) = E(X − µX )(Y − µY ) =
E(X −µX )E(Y −µY ) = 0, òî åñòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò
íóëåâóþ êîâàðèàöèþ. Åñëè æå X è Y ëèíåéíî ñâÿçàíû: Y −µY = a(X −µX ),
òî â íåðàâåíñòâå Øâàðöà äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà, òàê ÷òî cov(X, Y ) =

                                       92

Страницы