Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
X
1
, . . . , X
m
X
k
∼ B(n
k
, p), k =
1, . . . , m,
X =
m
X
1
X
k
∼ B(n, p),
n = n
1
+ . . . + n
m
.
X
k
n
k
X
n X ∼ B(n, p).
X
1
X
2
f
1
(x) f
2
(x) dµ = dx.
f(x) X = X
1
+ X
2
f
1
f
2
:
f(x) =
∞
Z
−∞
f
1
(t)f
2
(x − t)dt =
∞
Z
−∞
f
2
(t)f
1
(x − t)dt.
f(x
1
, x
2
)
X
1
X
2
f(x
1
, x
2
) = f
1
(x
1
)f
2
(x
2
).
P ((X
1
, X
2
) ∈ B) =
Z
B
f
1
(x
1
)f(x
2
)dx
1
dx
2
   Óêàæåì åùå íà îäíî èíòåðåñíîå ïðèìåíåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ áèíîìèàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
   Ïðåäëîæåíèå 8.4 (òåîðåìà ñëîæåíèÿ äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ). Åñëè X1 , . . . , Xm íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è Xk ∼ B(nk , p), k =
1, . . . , m, òî
                                   m
                                   X
                              X=      Xk ∼ B(n, p),
                                       1
ãäå n = n1 + . . . + nm .
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Êàæäîå Xk åñòü ñóììà nk íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó B(1, p) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñëåäîâàòåëüíî, X
åñòü ñóììà n òàêèõ æå âåëè÷èí, îòêóäà X ∼ B(n, p).
   Ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû òåîðåìû ñëîæåíèÿ, ñîñòàâ-
ëÿþò îñîáûé êëàññ óñòîé÷èâûõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèé, è èçó÷åíèþ ñâîéñòâ
òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñâÿùàþòñÿ îòäåëüíûå ìîíîãðàôèè. Âû, íàâåðíîå,
äîãàäûâàåòåñü, ÷òî óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, êàê
ïðåäåë áèíîìèàëüíîãî. Â äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòî â äåéñòâèòåëü-
íîñòè òàê, ðàçðàáîòàâ áîëåå ñîâåðøåííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äîêàçà-
òåëüñòâ òåîðåì ñëîæåíèÿ. À ñåé÷àñ ìû äîêàæåì óñòîé÷èâîñòü íîðìàëüíîãî
çàêîíà, ïîëó÷èâ ïðåäâàðèòåëüíî îáùóþ ôîðìóëó äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóì-
ìû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
   Ïðåäëîæåíèå 8.5 (ôîðìóëà ñâåðòêè ðàñïðåäåëåíèé). Ïóñòü X1 è X2
íåçàâèñèìû è èìåþò íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèÿìè ïëîòíîñòè
f1 (x) è, ñîîòâåòñòâåííî, f2 (x) ïî ìåðå Ëåáåãà dµ = dx. Òîãäà ôóíêöèÿ
ïëîòíîñòè f (x) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = X1 + X2 åñòü
ñâåðòêà ôóíêöèé f1 è f2 :
                         Z∞                            Z∞
               f (x) =        f1 (t)f2 (x − t)dt =          f2 (t)f1 (x − t)dt.
                         −∞                           −∞


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè f (x1 , x2 ) íåçàâè-
ñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 è X2 ðàâíà (ñì. ïðåäëîæåíèå 8.2) ïðîèçâåäå-
íèþ èõ ôóíêöèé ïëîòíîñòè: f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ). Èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ
íàì ôîðìóëó (ñì. ôîðìóëû ïîñëå îïðåäåëåíèÿ 8.1)
                                            Z
                   P ((X1 , X2 ) ∈ B) =             f1 (x1 )f (x2 )dx1 dx2
                                                B

                                            90

Страницы