Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
X
1
E(X
i
− EX
i
)
2
=
n
X
1
DX
i
.
X = X
1
+ . . . + X
n
,
X
i
, i = 1, . . . n
X
i
X.
X.
i
i
X
i
, p
1 − p. n
X
(n)
= (X
1
, . . . , X
n
),
X,
n X
i
,
X =
X
n
1
X
i
,
EX =
n
X
1
EX
i
= nEX
1
, DX =
n
X
1
DX
i
= nDX
1
.
EX
1
= 1 · p + 0 · (1 − p) = p, EX
2
1
= EX
1
= p, DX
1
= p −
p
2
= p(1 − p),
EX = np, DX = np(1 − p).
                        n
                        X                       n
                                                X
                                            2
                             E(Xi − EXi ) =         DXi .
                         1                      1


   Êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì, âûâîä ðÿäà âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé
ñòðîèòñÿ íà ñòîõàñòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: X = X1 + . . . + Xn ,
è ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé Xi , i = 1, . . . n èìååò äîñòàòî÷íî ïðî-
ñòîé âèä, íàïðèìåð, âû÷èñëèòü ìîìåíòû Xi íàìíîãî ïðîùå, ÷åì ìîìåíòû
X.  òàêîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïðåäëîæåíèÿ 8.3 óêàçûâàþò ïðÿìîé ïóòü ê
âû÷èñëåíèþ ìîìåíòîâ, à èíîãäà è ðàñïðåäåëåíèÿ, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X.
 ñóùíîñòè, ìû óæå èñïîëüçîâàëè òåõíèêó òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé, êîãäà
âûâîäèëè áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå  ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà óñïåõîâ â
èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè.

                                                                       Ëåêöèÿ 14

   Ï ð è ì å ð 8.2 (î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).
Ðåçóëüòàò êàæäîãî i-ãî èñïûòàíèÿ â ñõåìå Áåðíóëëè ìîæíî ðåãèñòðèðîâàòü
êàê çíà÷åíèå èíäèêàòîðíîé ôóíêöèè óñïåõà, îáîçíà÷àÿ öèôðîé 1 óñïåõ, à
öèôðîé 0 íåóäà÷ó. Òàêèì îáðàçîì, ñ i-ûì èñïûòàíèåì ñîîòíîñèòñÿ ñëó÷àé-
íàÿ âåëè÷èíà Xi , ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ p è çíà÷åíèå
0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − p. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé
Áåðíóëëè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ñëó÷àéíûé âåêòîð X (n) = (X1 , . . . , Xn ),
ñîñòîÿùèé èç íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó B(1, p)
êîìïîíåíò (íàïîìíèì, B(1, p) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé áèíîìèàëüíîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ, êîòîðîå ìû íàçâàëè äâóõòî÷å÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì).  òàêèõ îáî-
çíà÷åíèÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, ðåàëèçàöèÿ êîòîðîé ðàâíà ÷èñëó óñïå-
õîâ â X
      n èñïûòàíèÿõ (÷èñëó Xi , ïðèíÿâøèõ çíà÷åíèå 1), ïðåäñòàâèìà â âèäå
         n
X=         Xi , è â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 8.3
        1
                   n
                   X                            n
                                                X
            EX =        EXi = nEX1 ,    DX =            DXi = nDX1 .
                    1                               1

Èìååì: EX1 = 1 · p + 0 · (1 − p) = p, EX12 = EX1 = p, DX1 = p −
p2 = p(1 − p), îòêóäà íåìåäëåííî ïîëó÷àåì èçâåñòíûå íàì è ïîëó÷åííûå
â ðåçóëüòàòå áîëåå ñëîæíûõ âûêëàäîê ôîðìóëû ìîìåíòîâ áèíîìèàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ: EX = np, DX = np(1 − p).

                                       89

Страницы