Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
1
, . . . , X
n
1
0
. Y
1
= g
1
(X
1
),
. . . , Y
n
= g
n
(X
n
), g
i
, i = 1, . . . , n
2
0
. E
n
Y
1
X
i
=
n
Y
1
EX
i
;
3
0
. D
n
X
1
X
i
=
n
X
1
DX
i
.
1
0
. σ
Y
1
, . . . , Y
n
, σ
X
1
, . . . , X
n
,
2
0
. f
i
( ·) X
i
µ
i
, i = 1, . . . , n.
f(x
1
, . . . , x
n
) =
n
Y
1
f
i
(x
i
),
E
n
Y
1
X
i
=
Z
R
x
1
f
1
(x
1
)dµ
1
(x
1
) ···
Z
R
x
n
f
n
(x
n
)dµ
n
(x
n
) =
n
Y
1
EX
i
.
3
0
.
D
n
X
1
X
i
= E
Ã
n
X
1
(X
i
− EX
i
)
!
2
=
E
n
X
1
(X
i
− EX
i
)
2
+
X
i6=j
(X
i
− EX
i
)(X
j
− EX
j
)
=
n
X
1
E(X
i
− EX
i
)
2
+
X
i6=j
E(X
i
− EX
i
) · E(X
j
− EX
j
) =
   Ïðåäëîæåíèå 8.3. Åñëè X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, òî
     10 . íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y1 = g1 (X1 ),
. . . , Yn = gn (Xn ), ãäå gi , i = 1, . . . , n  èçìåðèìûå ôóíêöèè;
            Yn        Y n
        0
     2.E        Xi =      EXi ;
            1              1
            n
            X              Xn
   30 . D       Xi =             DXi .
            1              1

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 10 . Ïîñêîëüêó σ -àëãåáðû, ïîðîæäåííûå ñëó÷àé-
íûìè âåëè÷èíàìè Y1 , . . . , Yn , ÿâëÿþòñÿ ïîäàëãåáðàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ σ -
àëãåáð, ïîðîæäåííûõ X1 , . . . , Xn , à ïîñëåäíèå íåçàâèñèìû (ñì. îïðåäåëå-
íèå 3.4), òî äàííîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ
8.2 íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
   20 . Ïóñòü fi ( · )  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè Xi ïî ìåðå µi , i = 1, . . . , n. Òîãäà,
â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 8.2, ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
                                                                       n
                                                                       Y
                                        f (x1 , . . . , xn ) =                 fi (xi ),
                                                                           1

òàê ÷òî
          n
          Y            Z                                           Z                                n
                                                                                                    Y
      E         Xi =           x1 f1 (x1 )dµ1 (x1 ) · · ·                  xn fn (xn )dµn (xn ) =       EXi .
            1              R                                           R                            1


   30 . Èñïîëüçóÿ òîëüêî ÷òî äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå (2) è ñâîéñòâî ëè-
íåéíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷àåì
                      n
                                Ã n            !2
                     X           X
                   D     Xi = E     (Xi − EXi ) =
                                    1                         1
                                                          
                   Xn              X
                E  (Xi − EXi )2 +   (Xi − EXi )(Xj − EXj ) =
                       1                               i6=j
                n
                X                               X
                                          2
                    E(Xi − EXi ) +                     E(Xi − EXi ) · E(Xj − EXj ) =
                1                               i6=j



                                                              88

Страницы