Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
1
, . . . , X
n
X
1
, . . . , X
n
F (x
1
, . . . , x
n
) =
n
Y
1
F
X
i
(x
i
), f(x
1
, . . . , x
n
) =
n
Y
1
f
X
i
(x
i
).
P
(Ω, A),
X
1
, . . . , X
n
, P
(R
n
, B
n
),
F.
F (x
1
, . . . , x
n
) = P
Ã
n
\
i=1
{X
i
∈ (−∞, x
i
)}
!
= P
Ã
n
\
i=1
X
−1
i
((−∞, x
i
))
!
=
n
Y
i=1
P
¡
X
−1
i
((−∞, x
i
))
¢
=
n
Y
i=1
P (X
i
∈ (−∞, x
i
)) =
n
Y
1
F
X
i
(x
i
),
X Y F (x, y) = F
X
(x)F
Y
(y)
x, y ∈ R P (X ∈ B
1
, Y ∈ B
2
) = P (X ∈ B
1
)P (Y ∈ B
2
)
B
1
, B
2
∈ B
n > 2
A
1
∈ A
X
X
−1
(B
1
) B
1
∈ B, A
2
∈ A
Y
Y
−1
(B
2
) B
2
∈ B, A
1
∈ A
X
, A
2
∈ A
Y
P(A
1
\
A
2
) = P(X
−1
(B
1
)
\
Y
−1
(B
2
)) = P (X ∈ B
1
, Y ∈ B
2
) =
äëÿ íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü âûïîëíå-
íèÿ áîëåå ñëàáîãî óñëîâèÿ, ñîñòîÿùåãî â âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ñîâ-
ìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ X1 , . . . , Xn â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìàðãè-
íàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.
  Ïðåäëîæåíèå 8.2. ( êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà èõ ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (ôóíêöèÿ ïëîòíî-
ñòè) ðàñïàäàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå ìàðãèíàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ
(ìàðãèíàëüíûõ ôóíêöèé ïëîòíîñòè):
                                      n
                                      Y                                              n
                                                                                     Y
                                            Xi
             F (x1 , . . . , xn ) =        F (xi ),         f (x1 , . . . , xn ) =       f Xi (xi ).
                                       1                                             1


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü ïîëóæèðíîé áóêâîé P âåðî-
ÿòíîñòü íà èñõîäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, A), íà êîòîðîì îïðå-
äåëåíû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn , à îáû÷íîé áóêâîé P  âåðîÿòíîñòü
íà (Rn , Bn ), êîòîðàÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ôóíê-
öèè ðàñïðåäåëåíèÿ F. Òîãäà
                            Ã   n
                                                               !         Ã   n
                                                                                                       !
                                \                                            \
 F (x1 , . . . , xn ) = P             {Xi ∈ (−∞, xi )}             =P             Xi−1 ((−∞, xi ))         =
                                i=1                                         i=1
       n
       Y                                      n                      n
                 ¡                         ¢ Y                       Y
             P       Xi−1 ((−∞,       xi )) =   P (Xi ∈ (−∞, xi )) =   F Xi (xi ),
       i=1                                       i=1                                     1
òî åñòü ñâîéñòâî ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ðàâåíñòâà (1).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè ïîêà-
æåì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y ðàâåíñòâî F (x, y) = F X (x)F Y (y)
ïðè ëþáûõ x, y ∈ R âëå÷åò P (X ∈ B1 , Y ∈ B2 ) = P (X ∈ B1 )P (Y ∈ B2 )
êàêîâû áû íè áûëè B1 , B2 ∈ B (îáùèé ñëó÷àé, êàñàþùèéñÿ íåçàâèñèìî-
ñòè n > 2 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ ïðèâëå÷åíèåì ìåòîäà
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè). Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü íåçàâèñèìîñòü ïîðî-
æäåííûõ ñèãìà-àëãåáð. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ýëåìåíò A1 ∈ AX èìååò âèä
X −1 (B1 ) ñ íåêîòîðûì B1 ∈ B, è, àíàëîãè÷íî, ëþáîé A2 ∈ AY èìååò âèä
Y −1 (B2 ) ñ B2 ∈ B, òàê ÷òî ïðè ëþáûõ A1 ∈ AX , A2 ∈ AY
               \                              \
     P(A1            A2 ) = P(X −1 (B1 )           Y −1 (B2 )) = P (X ∈ B1 , Y ∈ B2 ) =

                                                       86

Страницы