Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X = X(ω) (Ω, A)
(R, B). A
X
= {X
−1
(B), B ∈ B}
B, X
−1
(R) = Ω.
A
X
Ω σ
A.
σ
A1). A
X
Ω =
X
−1
(R) ∈ A
X
.
A2).
¡
X
−1
(B)
¢
c
∈ A
X
,
B ∈ B. X
−1
(B) = {ω : X(ω) ∈
B}, X(ω) B, X(ω) ∈ B
c
.
B
c
∈ B, X
−1
(B
c
) =
¡
X
−1
(B)
¢
c
∈ A
X
.
A3)
S
.
∞
[
1
X
−1
(B
i
) = X
−1
Ã
∞
[
1
B
i
!
∈ A
X
.
X
1
, . . . , X
n
, (Ω, A),
σ A
X
1
, . . . , A
X
n
σ A,
σ
B
1
, . . . , B
n
B
P (X
1
∈ B
1
, . . . , X
n
∈ B
n
) =
n
Y
1
P (X
i
∈ B
i
), (1)
   Ïóñòü X = X(ω)  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íà (Ω, A) ñî çíà÷åíèÿìè â èç-
ìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (R, B). Ðàññìîòðèì êëàññ AX = {X −1 (B), B ∈ B}
âñåõ ïðîîáðàçîâ ýëåìåíòîâ áîðåëåâñêîãî ïîëÿ B, ïîëàãàÿ X −1 (R) = Ω. Èìå-
åò ìåñòî
  Ïðåäëîæåíèå 8.1. Êëàññ AX ïîäìíîæåñòâ Ω ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé (ïî-
äàëãåáðîé A.)
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü àêñèîìû áóëåâîé σ -àëãåáðû
(ñì. îïðåäåëåíèå 2.5).
   (A1). Ïî îïðåäåëåíèþ AX ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω =
X −1 (R) ∈ AX .                           ¡       ¢c
   (A2). Ïîêàæåì, ÷òî äîïîëíåíèå X −1 (B) ∈ AX , êàêîâî áû íè áûëî
B ∈ B. Äåéñòâèòåëüíî, ñîáûòèå, ïðîòèâîïîëîæíîå X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈
B}, îçíà÷àåò, ÷òî X(ω)    ¡ íå ïðèíàäëåæèò
                                     ¢         B, òî åñòü X(ω) ∈ B c . Òàê êàê
                                       c
B c ∈ B, òî X −1 (B c ) = X −1 (B) ∈ AX .
   (A3)S . Ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðåäûäóùåìó ïóíêòó, ïîêàçûâàþò,
÷òî                                          Ã∞ !
                        ∞
                        [                     [
                           X −1 (Bi ) = X −1    Bi ∈ AX .
                      1                       1


  Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî äàííîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî íå òîëüêî äëÿ ñêà-
ëÿðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íî è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Òåïåðü ìû â ñîñòî-
ÿíèè ââåñòè îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíåéøèõ ïîíÿòèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
  Îïðåäåëåíèå 8.2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ñëó÷àéíûå âåêòîðû)
X1 , . . . , Xn , çàäàííûå íà îäíîì è òîì æå èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, A),
íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè èëè ñîâìåñòíî íåçàâèñèìûìè,
åñëè íåçàâèñèìû σ -ïîäàëãåáðû AX1 , . . . , AXn σ -àëãåáðû A, ïîðîæäåííûå
ñîîòâåòñòâóþùèìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
   Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 3.4 íåçàâèñèìîñòè σ -
àëãåáð, äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ (ñîáûòèé) B1 , . . . , Bn áîðåëåâñêîãî ïîëÿ B
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                                   n
                                                   Y
                P (X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn ) =       P (Xi ∈ Bi ),       (1)
                                                   1

òî åñòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàñ-
ïàäàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå èõ ìàðãèíàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Îêàçûâàåòñÿ,

                                       85

Страницы