Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x
1
, . . . , x
n
) dµ = dµ
1
···dµ
n
,
σ µ
i
, i = 1, . . . , n (R, B)
B ∈ B
n
R
n
,
f n
n
F (x
1
, . . . , x
n
) = P (X
1
< x
1
, . . . , X
n
< x
n
) =
x
1
Z
−∞
. . .
x
n
Z
−∞
f(t
1
, . . . , t
n
)dµ
1
(t
1
) ···dµ
n
(t
n
),
n > 1
R
n
,
n
(R
n
, B
n
)
n
µ = µ
1
×···×µ
n
f
f(x
1
, . . . , x
n
) =
∂
n
F (x
1
, . . . , x
n
)
∂x
1
···∂x
n
,
µ
R
n
f(x
1
, . . . , x
n
) = P (X
(n)
= x
(n)
) = P (X
1
= x
1
, . . . , X
n
= x
n
).
F f
X
i
1
, . . . , X
i
k
X
(n)
?
X
(n)
+∞ x
i
1
, . . . , x
i
k
,
îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) ïî ìåðå dµ = dµ1 · · · dµn , ãäå
êàæäàÿ σ -êîíå÷íàÿ ìåðà µi , i = 1, . . . , n íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé (R, B)
ÿâëÿåòñÿ èëè ñ÷èòàþùåé ìåðîé, èëè ìåðîé Ëåáåãà.  òàêîì ñëó÷àå âû÷èñ-
ëåíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé B ∈ Bn ñâîäèòñÿ èëè ê ñóììèðîâàíèþ âåðî-
ÿòíîñòåé îòäåëüíûõ òî÷åê â Rn , èëè ê âû÷èñëåíèþ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ
Ðèìàíà. Ôóíêöèÿ f â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàåò â ðîëè n-ìåðíîé ôóíêöèè
ïëîòíîñòè. Åñòåñòâåííî, ìîæíî ââåñòè òàêæå ïîíÿòèå n-ìåðíîé ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ

                 F (x1 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , . . . , Xn < xn ) =
                    Zx1         Zxn
                          ...         f (t1 , . . . , tn )dµ1 (t1 ) · · · dµn (tn ),
                   −∞       −∞
îäíàêî ïðè n > 1 ñ ïîìîùüþ ýòîé ôóíêöèè ìîæíî âûðàçèòü òîëüêî âå-
ðîÿòíîñòè ïðÿìîóãîëüíèêîâ â Rn , â òî âðåìÿ êàê âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â ïîäìíîæåñòâà áîëåå ñëîæíîé êîíôèãóðàöèè (íàïðè-
ìåð, ýëëèïñîèäû) ïðèõîäèòñÿ âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà îò ôóíêöèè
ïëîòíîñòè. Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, n-ìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà (Rn , Bn ), òî åñòü
èìååò ìåñòî n-ìåðíûé àíàëîã òåîðåìû 4.1.
   Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àå íåïðå-
ðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (µ = µ1 × · · · × µn  ìåðà Ëåáåãà) ôóíêöèÿ ïëîòíî-
ñòè f âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñðåäñòâîì äèôôåðåí-
öèðîâàíèÿ
                                           ∂ n F (x1 , . . . , xn )
                    f (x1 , . . . , xn ) =                          ,
                                               ∂x1 · · · ∂xn
à â äèñêðåòíîì ñëó÷àå (µ  ñ÷èòàþùàÿ ìåðà, ïðèïèñûâàþùàÿ åäèíèöó êàæ-
äîé òî÷êå Rn ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè)

        f (x1 , . . . , xn ) = P (X (n) = x(n) ) = P (X1 = x1 , . . . , Xn = xn ).

ß ïîëàãàþ, âû ñàìè ñìîæåòå çàïèñàòü àíàëîãè÷íûå ñâÿçè ìåæäó F è f â
ñìåøàííîì äèñêðåòíî-íåïðåðûâíîì ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòü êîìïîíåíò ñëó-
÷àéíîãî âåêòîðà èìååò íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, à äðóãàÿ  äèñêðåòíîå.
   Êàê âû÷èñëèòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå îòäåëüíûõ êîìïîíåíò
Xi1 , . . . , Xik ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X (n) ? Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî â ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ X (n) óñòðåìèòü ê +∞ âñå ïåðåìåííûå, îòëè÷íûå îò xi1 , . . . , xik ,

                                                    83

Страницы