Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
i
1
, . . . , x
i
k
, ±∞.
X
i
, i = 1, . . . , n,
R
2
x
2
+ y
2
= r
2
,
(x, y)
(X, Y ).
B B.
(X, Y )
dµ = dxdy f(x, y), 1/πr
2
,
x
2
+ y
2
≤ r
2
,
f
X
(x) X.
f(x, y) y
±∞ x ∈ R. x
f(x, y) 1/πr
2
y,
−
√
r
2
− x
2
≤ y ≤
√
r
2
− x
2
.
f
X
(x) =
1
πr
2
√
r
2
−x
2
Z
−
√
r
2
−x
2
dy =
2
πr
2
p
r
2
− x
2
,
|x| ≤ r, f
X
(x) = 0
Y
X
(n)
σ A,
X
i
, i = 1, . . . , n, X
(n)
èëè, ÷òî òî æå, ïðîèíòåãðèðîâàòü ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ïî êàæäîé èç ïåðå-
ìåííûõ, îòëè÷íûõ îò xi1 , . . . , xik , â ïðåäåëàõ ±∞.
   Çàìåòèì, ÷òî â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàñïðåäåëåíèÿ
êàæäîé êîìïîíåíòû (ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû) Xi , i = 1, . . . , n,  ìàðãèíàëü-
íûìè èëè ÷àñòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.
   Ï ð è ì å ð 8.1 (ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà êðóãå.)  ÷àñòü ïëîñêî-
ñòè R2 , îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ x2 + y 2 = r2 , íàóãàä áðîñàåòñÿ òî÷êà,
òàê ÷òî åå êîîðäèíàòû (x, y) ïðåäñòàâëÿþò ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîãî âåêòî-
ðà (X, Y ). Êàê è â ñëó÷àå ñ áðîñàíèåì òî÷êè íà îòðåçîê ïðÿìîé, òåðìèí
íàóãàä ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ òî÷êè
â íåêîòîðóþ, èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó ÷àñòü B êðóãà òîëüêî îò ïëîùàäè B.
Òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðè âûâîäå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îò-
ðåçêå, ïðèâîäÿò íàñ ê ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ (X, Y ) ñ ôóíêöèåé
ïëîòíîñòè (ïî ìåðå Ëåáåãà dµ = dxdy ) f (x, y), ðàâíîé ïîñòîÿííîé 1/πr2 ,
åñëè x2 + y 2 ≤ r2 , è ðàâíîé íóëþ âíå ýòîãî êðóãà.
   Íàéäåì ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f X (x) ìàðãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X.
Äëÿ ýòîãî ìû äîëæíû ïðîèíòåãðèðîâàòü ôóíêöèþ f (x, y) ïî ïåðåìåííîé y
â ïðåäåëàõ ±∞ ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè x ∈ R. Åñëè x ôèê-
                                                     2
ñèðîâàíî, òî f (x, y) îòëè÷íà îò íóëÿ  √ è ðàâíà 1/πr√òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ y,
óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó − r2 − x2 ≤ y ≤ r2 − x2 . Ñëåäîâàòåëüíî,
                                     √
                                       Zr2 −x2
                               1                         2 p 2
                  f X (x) =                      dy =        r − x2 ,
                              πr2    √
                                                        πr 2
                                    − r2 −x2

åñëè |x| ≤ r, è f X (x) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàðãèíàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå âòîðîé êîìïîíåíòû Y ñëó÷àéíîãî âåêòîðà èìååò òîò æå
âèä. Òàêèì îáðàçîì, ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò îòëè÷íû îò
ðàâíîìåðíîãî è èìåþò ÷åòêî âûðàæåííóþ ìîäó, ñîâïàäàþùóþ ñ íà÷àëîì
êîîðäèíàò.
   Ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàèáîëåå ïðî-
ñòî íàõîäÿòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè X (n) ðàñïàäàåòñÿ â
ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé ïëîòíîñòè îòäåëüíûõ êîìïîíåíò. Ïîíÿòíî, ÷òî õîòÿ
áû â äèñêðåòíîì ñëó÷àå ýòî ãîâîðèò î íåêîòîðîé íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. ×òîáû ââåñòè ñòðîãîå îïðåäåëåíèå òàêîé íåçàâèñè-
ìîñòè, ìû äîëæíû îáðàòèòüñÿ ê σ -ïîäàëãåáðàì àëãåáðû A, ïîðîæäåííûì
êàæäîé êîìïîíåíòîé Xi , i = 1, . . . , n, âåêòîðà X (n) .


                                            84

Страницы