Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(Ω, A)
R
n
. R
n
B = B
1
×. . . ×B
n
, B
k
(a
k
, b
k
),
(a
k
, b
k
] [ a
k
, b
k
) [ a
k
, b
k
]
R
n
, σ B
n
R
n
(R
n
, B
n
).
X
(n)
= X
(n)
(ω) = (X
1
(ω), . . . ,
X
n
(ω)) Ω, σ
A, n R
n
σ B
n
. B ∈ B
n
X
(n) −1
(B) = {ω : X
(n)
(ω) ∈ B} ∈ A.
P
n
(R
n
, B
n
), P (Ω, A),
P
n
(B) = P
³
X
(n) −1
(B)
´
, ∀B ∈ B
n
.
(Ω, A, P ) X
(n)
,
n > 1.
P (X
(n)
∈ B) =
Z
B
f(x
1
, . . . , x
n
)dµ
1
(x
1
) ···dµ
n
(x
n
)
                 Ÿ8. Âåêòîðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
                  Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
                                                                                       Ëåêöèÿ 13

   Ïðè îïðåäåëåíèè äåéñòâèòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìû èíòåðïðåòè-
ðîâàëè åå êàê íåêîòîðóþ ÷èñëîâóþ õàðàêòåðèñòèêó èññëåäóåìîãî îáúåêòà.
Îäíàêî íà ïðàêòèêå ìû ÷àùå ñòàëêèâàåìñÿ ñ îäíîâðåìåííûì íàáëþäåíèåì
íåñêîëüêèõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê  ñëó÷àéíûì âåêòîðîì, ðàñïðåäåëåíèå
êîòîðîãî òàê æå, êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ïîðîæäàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì
íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, A) ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî
ýêñïåðèìåíòà. ×òîáû ïðîâåñòè àíàëîãèþ ñ îïðåäåëåíèåì ñêàëÿðíîé ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû, ìû äîëæíû âñïîìíèòü ñòðîåíèå áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ
â Rn . Ðîëü èíòåðâàëîâ çäåñü èãðàþò ïðÿìîóãîëüíèêè  ïîäìíîæåñòâà Rn
âèäà B = B1 × . . . × Bn , ãäå êàæäîå Bk åñòü îòêðûòûé (ak , bk ), ïîëóîòêðû-
òûé (ak , bk ] è [ ak , bk ) èëè çàìêíóòûé [ ak , bk ] èíòåðâàë íà äåéñòâèòåëüíîé
ïðÿìîé R. Êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ îá-
ðàçóþò áóëåâó àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ Rn , à íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà Bn , ñîäåð-
æàùàÿ ýòó áóëåâó àëãåáðó, îáðàçóåò êëàññ èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ Rn èëè
ñîáûòèé. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (Rn , Bn ).
   Îïðåäåëåíèå 8.1. Âåêòîðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé èëè ñëó÷àéíûì
âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå X (n) = X (n) (ω) = (X1 (ω), . . . ,
Xn (ω)) ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, íàäåëåííîãî σ -àëãåáðîé èç-
ìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ A, â n-ìåðíîå ýâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî Rn ñ áî-
ðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé Bn . Äëÿ ëþáîãî B ∈ Bn ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
X (n) −1 (B) = {ω : X (n) (ω) ∈ B} ∈ A.
  Òåïåðü, ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì, çàäàäèì âåðîÿòíîñòü Pn íà
(Rn , Bn ), ïîðîæäåííóþ âåðîÿòíîñòüþ P íà (Ω, A), ñîîòíîøåíèåì
                               ³                      ´
                     Pn (B) = P X (n)         −1
                                                   (B) ,      ∀B ∈ Bn .

   Êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì, èñõîäíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
(Ω, A, P ) èãðàåò áîëåå âàæíóþ ðîëü â õàðàêòåðèçàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ X (n) ,
åñëè n > 1. Ìû áóäåì èçó÷àòü âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè, êîòîðûå ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå èíòåãðàëà Ëåáåãà
                                   Z
                    (n)
             P (X         ∈ B) =       f (x1 , . . . , xn )dµ1 (x1 ) · · · dµn (xn )
                                   B

                                              82

Страницы