Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[ −∞, +∞] Θ = R × R
+
.
N(µ, σ
2
).
6
Φ
-
x
1
0.5
µ
6
ϕ
-
x
1
√
2πσ
µµ − σ µ + σ
µ = 0, σ = 1, N(0, 1)
Φ(x)
ϕ(x).
(µ) (σ),
X ∼ N(0, 1), Y = σX + µ ∼ N(µ, σ
2
).
exp{−x
2
/2}
x = µ,
Φ(−x) = 1−Φ(x) Φ(0) = 1/2.
N(µ, σ
2
)
EX =
1
√
2π
∞
Z
−∞
x exp
½
−
x
2
2
¾
dx = 0,
σX +µ ∼ N(µ, σ)
2
µ.
µ
2k+1
= E(X−µ)
2k+1
= 0.
[ −∞, +∞ ] è ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì Θ = R × R+ . Ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü ýòî ðàñïðåäåëåíèå N(µ, σ 2 ).

                             6Φ
                         1




                       0.5



                                                                  -
                                  µ                               x

                             6ϕ

                      √1
                       2πσ




                                                                  -
                      µ−σ         µ      µ+σ                      x

   Åñëè µ = 0, à σ = 1, òî N(0, 1) íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì íîðìàëü-
íûì ðàñïðåäåëåíèåì; åìó ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Φ(x) è
ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ϕ(x). Ïîñêîëüêó ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè ñäâèãà (µ) è ìàñøòàáà (σ), òî ñåìåéñòâî íîð-
ìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: åñëè X ∼ N(0, 1), òî Y = σX + µ ∼ N(µ, σ 2 ).
   Òàê êàê exp{−x2 /2}  ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè x = µ, êîòîðàÿ, êàê ëåãêî âèäåòü, ÿâëÿåò-
ñÿ ìîäîé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñèììåòðè÷íîñòü ôóíêöèè ïëîòíîñòè âëå÷åò òàê-
æå î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà: Φ(−x) = 1−Φ(x) è Φ(0) = 1/2. Ãðàôèêè ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî çàêîíà N(µ, σ 2 ) ïðåä-
ñòàâëåíû íà ðèñóíêå.
   Òàê êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
                                  Z∞         ½      ¾
                        1                      x2
                  EX = √               x exp −          dx = 0,
                         2π                    2
                                  −∞

(êàê èíòåãðàë îò íå÷åòíîé ôóíêöèè ïî âñåìó R), òî σX +µ ∼ N(µ, σ)2 èìå-
åò ñðåäíåå çíà÷åíèå µ.  ñèëó òîé æå íå÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíê-
öèé âñå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû íå÷åòíîãî ïîðÿäêà µ2k+1 = E(X −µ)2k+1 = 0.

                                        80

Страницы