Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X :
P (a ≤ X < b) ≈
1
√
2π
b−np
√
np(1−p)
Z
a−np
√
np(1−p)
exp
½
−
x
2
2
¾
dx, n À 1. (4)
≈
n → ∞ a b np
a b np+O(
√
n).
n
np O(
√
n),
1
√
2π
∞
Z
−∞
e
−x
2
/2
dx = 1,
µ ∈ R σ ∈ R
+
Φ
µ
x − µ
σ
=
1
√
2π
x−µ
σ
Z
−∞
exp
½
−
t
2
2
¾
dt =
1
√
2πσ
x
Z
−∞
exp
½
−
(t − µ)
2
2σ
2
¾
dt
1
σ
ϕ
µ
x − µ
σ
=
d
dx
Φ
µ
x − µ
σ
=
1
√
2πσ
exp
½
−
(x − µ)
2
2σ
2
¾
−
X =
¯
R =
   Ç à ì å ÷ à í è å. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà èíîãäà ôîðìó-
ëèðóåòñÿ â òåðìèíàõ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà äëÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ áèíîìèàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X :
                                       √ b−np
                                           Z
                                           np(1−p)
                                                               ½       ¾
                            1                                 x2
           P (a ≤ X < b) ≈ √                            exp −               dx,   n À 1.              (4)
                             2π                               2
                                      √ a−np
                                       np(1−p)


 òàêîé çàïèñè òåîðåìû çíàê ≈ îçíà÷àåò àñèìïòîòè÷åñêóþ ýêâèâàëåíò-
íîñòü ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé (4) (èõ îòíîøåíèå ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå ïðè
n → ∞) ëèøü â ñëó÷àå íåçíà÷èòåëüíîé óäàëåííîñòè a è b îò öåíòðà np
áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü çàïèñü îä-
íîãî è òîãî æå óòâåðæäåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (2) è (4), ÷òîáû óáåäèòüñÿ â
                                                                      √
ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (4) ëèøü ïðè çíà÷åíèÿõ a è b ïîðÿäêà np+O( n).
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êàê ëåâàÿ, òàê è ïðàâàÿ ÷àñòè (4) ñ ðîñòîì n ñòðåìÿòñÿ
ê íóëþ, íî ñ ðàçíîé ñêîðîñòüþ. Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç áèíîìèàëüíûõ âå-
                                                                      √
ðîÿòíîñòåé â îáëàñòÿõ, óäàëåííûõ îò np íà ïîðÿäîê áîëüøèé, ÷åì O( n),
ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåì î áîëüøèõ óêëîíåíèÿõ áèíîìèàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå â íàøåì êóðñå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàòüñÿ
íå áóäóò.
   Êàê èçâåñòíî èç îáùåãî êóðñà àíàëèçà, èíòåãðàë ÝéëåðàÏóàññîíà
                                      Z∞
                                1                   2
                               √            e−x         /2
                                                             dx = 1,
                                 2π
                                      −∞

ïîýòîìó ïðè ëþáûõ µ ∈ R è σ ∈ R+

                         x−µ
     µ       ¶           Zσ      ½      2
                                            ¾                          Zx         ½          ¾
     x−µ           1                 t                 1                          (t − µ)2
   Φ             =√            exp −            dt = √                      exp −                dt
      σ             2π               2                 2πσ                           2σ 2
                         −∞                                            −∞

åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, à
             µ     ¶        µ     ¶           ½           ¾
         1     x−µ      d     x−µ      1         (x − µ)2
           ϕ         =    Φ         =√     exp −            −
         σ      σ      dx      σ       2πσ         2σ 2
ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè. Ýòè ôóíêöèè îïðåäåëÿþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñå-
ìåéñòâî íîðìàëüíûõ èëè ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íîñèòåëåì X = R̄ =

                                               79

Страницы