Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆp = k/n =
p + O(n
−1/2
),
(ˆp (1 − ˆp))
−1/2
H(ˆp)
ˆp −p = O(n
−1/2
).
(ˆp (1 − ˆp))
−1/2
=
³
(p + O(n
−1/2
))(1 −p + O(n
−1/2
))
´
−1/2
=
(p (1 − p))
−1/2
(1 + O(n
−1/2
)),
n H(ˆp) =
(k − np)
2
2np(1 − p)
+ O
µ
1
√
n
. (1)
H(ˆp) = ˆp ln
ˆp
p
+ (1 − ˆp) ln
1 − ˆp
1 − p
ˆp = p :
H(ˆp) = H(p) + (ˆp − p)H
0
(p) +
(ˆp − p)
2
2!
H
00
(p) +
(ˆp − p)
3
3!
H
000
(p + λ(ˆp − p)),
0 < λ < 1.
H(p) = 0, H
0
(x) = ln(x/p) − ln((1 − x)/(1 − p)),
H
0
(p) = 0. H
00
(x) = 1/x + 1/(1 − x), H
00
(p) = (p(1 − p))
−1
.
H
000
(x) = −x
−2
+ (1 − x)
−2
, H
000
(p +
λ(ˆp−p)) n, p
H(ˆp) =
(ˆp − p)
2
2p(1 − p)
+ O
¡
(ˆp − p)
3
¢
,
a b
X ∼ B(n, p)
lim
n→∞
P
Ã
a ≤
X −np
p
np(1 − p)
< b
!
=
1
√
2π
b
Z
a
e
−x
2
/2
dx. (2)
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû p̂ = k/n =
p + O(n−1/2 ), òî åñòåñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé
ëåììû 7.1, ðàçëàãàÿ ôóíêöèè (p̂ (1 − p̂))−1/2 è H(p̂) â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòå-
ïåíÿì p̂ − p = O(n−1/2 ).
   Èìååì
                              ³                                    ´−1/2
                     −1/2               −1/2                −1/2
        (p̂ (1 − p̂))        = (p + O(n      ))(1 − p + O(n      ))      =

                             (p (1 − p))−1/2 (1 + O(n−1/2 )),
è äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
                                                      µ       ¶
                                   (k − np)2               1
                        n H(p̂) =            +O           √     .                  (1)
                                  2np(1 − p)                n
   Ðàçëîæèì
                                p̂               1 − p̂
                            H(p̂) = p̂ ln
                                   + (1 − p̂) ln
                                p                1−p
â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè p̂ = p :

                               (p̂ − p)2 00
                               0                (p̂ − p)3 000
H(p̂) = H(p) + (p̂ − p)H (p) +          H (p) +          H (p + λ(p̂ − p)),
                                   2!               3!
ãäå, êàê è â ëþáîì ðàçëîæåíèè Òåéëîðà, 0 < λ < 1.
    Èìååì H(p) = 0, è òàê êàê H 0 (x) = ln(x/p) − ln((1 − x)/(1 − p)), òî
H 0 (p) = 0. Äàëåå, H 00 (x) = 1/x + 1/(1 − x), îòêóäà H 00 (p) = (p(1 − p))−1 .
Íàêîíåö, H 000 (x) = −x−2 + (1 − x)−2 , ÷òî âëå÷åò îãðàíè÷åííîñòü H 000 (p +
λ(p̂ − p)) ïðè áîëüøèõ n, ïîñêîëüêó p îòãðàíè÷åíî îò 0 è 1. Òàêèì îáðàçîì,
                                 (p̂ − p)2    ¡         ¢
                        H(p̂) =            + O (p̂ − p)3 ,
                                2p(1 − p)
÷òî, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíî (1).
  Òåîðåìà 7.3. (Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà
Ëàïëàñà). Äëÿ ëþáûõ ïîñòîÿííûõ a è b è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X ∼ B(n, p) ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
                        Ã                        !           Zb
                                X − np                 1            2
             lim P          a≤ p

Страницы