Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X ∼ B(n, p)
ε > 0
lim
n→∞
P
µ
¯
¯
¯
¯
X
n
− p
¯
¯
¯
¯
> ε
= 0.
EX = np
DX = np(1 − p).
P
µ
¯
¯
¯
¯
X
n
− p
¯
¯
¯
¯
> ε
≤
D(X/n)
ε
2
=
np(1 − p)/n
2
ε
2
=
p(1 − p)
nε
2
→ 0,
n → ∞.
p = 1/2,
|X/n−p | ≤ ε, n.
n,
n
−1/2
p (= 1/2) X/n.
p = 1/2 σ =
p
D(X/n) =
(2
√
n)
−1
, X/n
0.5±n
−1/2
X/n.
X n, X → ∞
n → ∞. X np
Y
n
= (X − np)/
p
np(1 − p) n → ∞
âåðîÿòíîñòíîì ñìûñëå óñòàíàâëèâàåò îäèí èç îñíîâíûõ çàêîíîâ òåîðèè âå-
ðîÿòíîñòåé, îòêðûòûé È.Áåðíóëëè â XVII âåêå.
  Òåîðåìà 7.1. (Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Áåðíóëëè). Ïóñòü X ∼ B(n, p).
Òîãäà, êàêîâî áû íè áûëî ε > 0,
                             µ¯       ¯    ¶
                               ¯X     ¯
                        lim P ¯¯ − p ¯¯ > ε = 0.
                       n→∞      n

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà â ôîðìå
ñëåäñòâèÿ 6.1, ãäå â ñëó÷àå áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ EX = np è
DX = np(1 − p). Èìååì
       µ¯    ¯    ¶
        ¯X   ¯       D(X/n) np(1 − p)/n2   p(1 − p)
        ¯    ¯
      P ¯ − p¯ > ε ≤       =             =          → 0,
          n            ε2        ε 2         nε2
êîãäà n → ∞.
   Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ðàçúÿñíÿåò ïðèðîäó ñòàáèëèçàöèè îòíîñèòåëüíîé
÷àñòîòû âûïàäåíèÿ ãåðáà îêîëî çíà÷åíèÿ p = 1/2, êîòîðóþ ìû íàáëþäàëè
íà ïåðâîé ëåêöèè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àéíûõ ýêñ-
ïåðèìåíòàõ íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî | X/n−p | ≤ ε, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n.
Èñòèíà â òîì, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n, ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ñ
ëþáîé, íàïåðåä çàäàííîé è ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå âåðîÿòíîñòüþ.
Òàêèì îáðàçîì ìû äîëæíû ñêàçàòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå íàáëþäàåòñÿ ñõî-
äèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, êîòîðàÿ èìååò ñîâåðøåííî äðóãóþ ïðèðîäó, ÷åì
òà ñõîäèìîñòü, êîòîðóþ ìû èçó÷àåì â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
   Âûâîä çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ñîäåðæèò òàêæå îáúÿñíåíèå ôåíîìåíó, ñâÿ-
çàííîìó ñ ïîðÿäêîì n−1/2 îøèáêè â ïðèáëèæåíèè p (= 1/2) âåëè÷èíîé
                                                             p      X/n.
Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå p = 1/2 ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå σ = D(X/n) =
  √
(2 n)−1 , ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X/n ñèììåòðè÷íî, è â ñèëó
ïðàâèëà äâóõ ñèãì èíòåðâàë 0.5±n−1/2 íàêðûâàåò 90% öåíòðàëüíîé ÷àñòè
îáëàñòè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé X/n.
   Åñòåñòâåííî, åñëè íå äåëèòü X íà n, òî X → ∞ ïî âåðîÿòíîñòè, êî-
ãäà n → ∞. Íî åñëè X öåíòðèðîâàòü åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì np è çàòåì
ìàñøòàáèðîâàòü ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì,
                                    p       òî ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yn = (X − np)/ np(1 − p) èìååò ïðè n → ∞ íåâû-
ðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå. Âèä ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñòàíàâëèâàåò çíàìå-
íèòàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà (18 âåê!). Ïðè äîêàçàòåëüñòâå
ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò.

                                    75

Страницы