Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X ∼ B(n, p), n → ∞ k → ∞
1 > ˆp = k/n = O(1).
P (X = k) = f(k |n, p) =
1
p
2πnˆp(1 − ˆp)
exp{−nH(ˆp)}
¡
1 + O(n
−1
)
¢
,
H(x) = x ln
x
p
+ (1 − x) ln
1 − x
1 − p
, 0 < x < 1.
n! =
√
2πnn
n
e
−n
¡
1 + O(n
−1
)
¢
n!, k! (n − k)! C
k
n
f(k |n, p) =
n!
k!(n − k)!
p
k
(1 − p)
n−k
=
√
2πn n
n
e
−n
p
k
(1 − p)
n−k
√
2πk k
k
e
−k
p
2π(n − k) (n − k)
n−k
e
−n+k
µ
1 + O
µ
1
n
¶¶
=
exp{n ln n − k ln k − (n − k) ln(n − k) + k ln p + (n − k) ln(1 − p)}
q
2πn
k
n
¡
1 −
k
n
¢
·
¡
1 + O
¡
n
−1
¢¢
.
{−nH(ˆp)}.
n → ∞ k = np + O(
√
n).
f(k |n, p) =
1
p
2πnp(1 − p)
exp
½
−
(k − np)
2
2np(1 − p)
¾
³
1 + O
³
n
−1/2
´´
.
  Ëåììà 7.1. Ïóñòü X ∼ B(n, p), n → ∞ è öåëîå k → ∞ òàê, ÷òî
1 > p̂ = k/n = O(1). Òîãäà
                                           1                       ¡           ¢
      P (X = k) = f (k | n, p) = p                     exp{−nH(p̂)} 1 + O(n−1 ) ,
                                       2πnp̂(1 − p̂)
ãäå
                                 x              1−x
                  H(x) = x ln      + (1 − x) ln     ,       0 < x < 1.
                                 p              1−p

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé
Ñòèðëèíãà                        √          ¡          ¢
                          n! =     2πnnn e−n 1 + O(n−1 )
äëÿ ôàêòîðèàëîâ n!, k! è (n − k)! â áèíîìèàëüíîì êîýôôèöèåíòå Cnk è
ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ ïëîòíîñòè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â àñèìïòî-
òè÷åñêîì âèäå:
                                         n!
                      f (k | n, p) =            pk (1 − p)n−k =
                                     k!(n − k)!
                    √                                    µ      µ ¶¶
                      2πn nn e−n pk (1 − p)n−k                   1
           √            p                                  1+O       =
             2πk k k e−k 2π(n − k) (n − k)n−k e−n+k              n


       exp{n ln n − k ln k − (n − k) ln(n − k) + k ln p + (n − k) ln(1 − p)}
                                 q         ¡     ¢                           ·
                                         k     k
                                     2πn n 1 − n
                                  ¡        ¡  ¢¢
                                    1 + O n−1 .
   Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ î÷åâèäíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè âûðàæåíèÿ,
ñòîÿùåãî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ïîä ýêñïîíåíòîé, ê âèäó {−nH(p̂)}.


                                                                          Ëåêöèÿ 12

  Òåîðåìà 7.2. (Ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà
                                           √
                                                Ìóàâðà
Ëàïëàñà). Ïóñòü ïðè n → ∞ öåëîå k = np + O( n). Òîãäà
                                            ½                ¾³   ³      ´´
                            1              (k − np)2                −1/2
       f (k | n, p) = p             exp −                      1+O n        .
                        2πnp(1 − p)       2np(1 − p)


                                               76

Страницы