Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P (X ∈ B
1
)P (Y ∈ B
2
) = P
¡
X
−1
(B
1
)
¢
P
¡
Y
−1
(B
2
)
¢
= P(A
1
)P(A
2
),
A
X
A
Y
P (X ∈ (−∞, x))P (Y ∈ (−∞, y)) =
P ({X ∈ (−∞, x)} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
F
X
(x) = P (X ∈ (−∞, x)) =
P ({X ∈ (−∞, x)} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
F
Y
(y)
. (2)
F
X
(x)
P (X ∈ B
1
) X
P (X ∈ B
1
) =
P ({X ∈ B
1
} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
F
Y
(y)
F
Y
(y) = P (Y ∈ (−∞, y)) =
P ({X ∈ B
1
} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
P (X ∈ B
1
)
B
1
∈ B.
Y
F
Y
(y),
P (X ∈ B
1
, Y ∈ B
2
) = P (X ∈ B
1
)P (Y ∈ B
2
),
B
1
, B
2
∈ B.
F (x, y) =
x
Z
−∞
y
Z
−∞
f(u, v)dµ
1
(u)dµ
2
(v).
                              ¡          ¢ ¡          ¢
    P (X ∈ B1 )P (Y ∈ B2 ) = P X −1 (B1 ) P Y −1 (B2 ) = P(A1 )P(A2 ),
òî åñòü ñèãìà-àëãåáðû AX è AY íåçàâèñèìû.
   Ïåðåïèøåì óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè

                    P (X ∈ (−∞, x))P (Y ∈ (−∞, y)) =

                    P ({X ∈ (−∞, x)} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
â âèäå
                        F X (x) = P (X ∈ (−∞, x)) =
                   P ({X ∈ (−∞, x)} ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
                                                     .                   (2)
                                 F Y (y)
   Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F X (x) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ìàð-
ãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå P (X ∈ B1 ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (òåîðåìà 4.1),
òî ðàâåíñòâî (2) âëå÷åò
                                 P ({X ∈ B1 } ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
                P (X ∈ B1 ) =
                                              F Y (y)
èëè, ÷òî òî æå,
                                         P ({X ∈ B1 } ∩ {Y ∈ (−∞, y)})
         F Y (y) = P (Y ∈ (−∞, y)) =
                                                  P (X ∈ B1 )
äëÿ ëþáûõ B1 ∈ B. Èñïîëüçóÿ ñíîâà òåîðåìó 4.1 îá îäíîçíà÷íîì îïðåäå-
ëåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ïîñðåäñòâîì åå
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F Y (y), ïîëó÷àåì òðåáóåìîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñè-
ìîñòè:
                P (X ∈ B1 , Y ∈ B2 ) = P (X ∈ B1 )P (Y ∈ B2 ),
êàêîâû áû íè áûëè B1 , B2 ∈ B.
   Óòâåðæäåíèå òåîðåìû, êàñàþùååñÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè, ñëåäóåò íåìåä-
ëåííî èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèåé ïëîò-
íîñòè:                         y Zx Z
                    F (x, y) =           f (u, v)dµ1 (u)dµ2 (v).
                                 −∞ −∞
  Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, îòíîñÿùååñÿ ê ôóíêöèÿì îò íåçàâèñèìûõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè íåêîòî-
ðûõ ðàñïðåäåëåíèé çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì ýòî äåëàëîñü ⠟6.

                                         87

Страницы