Элементы теории чисел и криптозащита. Воронков Б.Н - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
45, 9), (57, 32, 4), (54, 35, 79), (200, 299, 45), (100, 175, 185). Вы также могли
бы получить различные фигуры, такие как шестиугольник, круг (или пра-
вильный многоугольник с очень большим числом сторон!) и более слож-
ную – эллипс.
Число шагов (один шаг = одному зигу и одному загу), которые необ-
ходимы для замыкания зигзага, даётся формулой: 360/(360,
α
,
β
); таким об-
разом, если
α
,
β
и 360 не имеют общего кратного, тогда число шагов 360.
Предлагается следующий способ проверки полученной формулы. Вы вклю-
чаете вычисление числа шагов в Вашу программу и останавливаете её вы-
полнение после достижения заданного числа шагов. Пусть u и v будут век-
торами, направленными вдоль первых зига и зага, соответственно (так что
они
фактически горизонтальны и имеют длины 100 и l, соответственно).
Обозначим через
ρ
вращение по
α
, а через
σ
– вращение по
β
. (Заметим, что
вращение векторов хорошо определяется без указания центра вращения).
Пусть начальная точка зигзага находится в начале отсчёта. Тогда после k
шагов конец последнего зага будет находиться в точке
u + v +
ρ
u +
σ
v +
ρ
2
u +
σ
2
v + . . . +
ρ
k–1
u +
σ
k–1
v =
= (u +
ρ
u + . . .+
ρ
k–1
u) + (v +
σ
v + . . . +
σ
k–1
v).
Для того, чтобы оказаться в начале, конечно, достаточно каждую
скобку отдельно приравнять нулю. (Действительно, к тому же следующие
зиг и заг после возвращения в начало отсчёта будут находиться вдоль пер-
вых зига и зага, при этом необходимо, чтобы каждая скобка равнялась ну-
лю). Приравнивая нулю первую скобку и используя оператор
ρ
, покажите,
что u =
ρ
k
u, откуда следует, что
ρ
k
означает единичное вращение (мы при-
нимаем, что u ≠ 0 ). Необходимо, чтобы k
α
было бы делителем 360; почему
в этом случае это эквивалентно тому, что k является делителем
360/(360,
α
)? Когда обе скобки равны нулю, k должна быть общим кратным
этого числа и 360/(360,
β
).
Ценным улучшением программы была бы оценка размера полного
зигзага, и тогда можно было бы оценить масштаб, обеспечивающий разме-
щение рисунка на экран монитора. Здесь без доказательства приводится
решение для данного случая. Вы можете предложить собственный вариант
решения. Чтобы расположить картинку вблизи центра экрана, зададим ко-
ординаты начальной точки (50, 50 ctg(
α
/2)) при высоте экрана, составляю-
щей |50 cosec(
α
/2)| + |(l/2)cosec(
β
/2)| единиц. (Вспомните, что начальная
точка зигзага имеет координаты (0, 0), и первый зиг является горизонталью
длиной 100).
5.10. Проект: числа Фибоначчи. Эти числа f
1
, f
2
, f
3
, . . . определены в
п. 5.4. Известная теорема [4] утверждает, что f
i
являются точно положи-
тельными значениями полинома 2xy
4
+ x
2
y
3
– 2x
3
y
2
– y
5
– x
4
y + 2y, где x и
y – целые числа ≥ 0. Такие пары (x, y), где x + y = n, скажем, могли быть
представлены как (0, n), (1, n – 1), (2, n – 2), . . . , (n, 0). Найдем эти пары для

Страницы