Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

164 Теория перестановок Гл. 3
Предложение 16.2. Левые (правые) сдвиги и отображение об-
ращения являются биекциями.
Доказательство. Как известно (см. п. 15.6), биективность отоб-
ражения равносильна его обратимости. Для исследуемых отображе-
ний l
α
, r
α
и ν легко указать обратные к ним отображения:
(l
α
)
−1
= l
α
−1
; (r
α
)
−1
= r
α
−1
; ν
−1
= ν. (16.11)
Скажем, первая из формул (16.11) немедленно следует из ассоци-
ативного закона для умножения перестановок и из свойств обратной
перестановки: если перестановку ϕ сначала умножить слева на α, а
потом результат умножить слева на α
−1
, то мы вернемся к исходной
перестановке ϕ и т. д. "Самообратность" отображения ν равносильна
формуле (ϕ
−1
)
−1
= ϕ. ¤
Замечание 16.6. Доказанное выше предложение понадобится нам
в п. 20.3 и в следующей главе, при изучении теории определителей.
Замечание 16.7. Разумеется, утверждение, аналогичное предло-
жению 16.2, остается справедливым для любой группы по умноже-
нию.
§
§
§ 17. Циклические перестановки.
Разложение перестановки
в произведение независимых циклов
17.1. Циклы и частичные циклы
Определение 17.1. Перестановка ϕ ∈ S
n
, имеющая в двустроч-
ной записи вид
ϕ =
µ
1 2 3 . . . n − 1 n
2 3 4 . . . n 1
, (17.1)
называется циклической (или циклом длины n) и обозначается
ϕ = (1, 2, 3, . . . , n − 1, n). (17.2)
Если {i
1
, i
2
, ..., i
s
} — какое-либо s-элементное (2 6 s 6 n) под-
множество множества (16.1) (номера попарно различны, но не обя-
зательно идут по порядку), то символом (i
1
, i
2
, ..., i
s
) обозначается
перестановка
(i
1
, i
2
, ..., i
s
) =
µ
i
1
i
2
. . . i
s−1
i
s
i
2
i
3
. . . i
s
i
1
¯
¯
¯
¯
j
1
j
2
. . . j
n−s
j
1
j
2
. . . j
n−s
, (17.3)
164                     Теория перестановок                          Гл. 3

  Предложение 16.2. Левые (правые) сдвиги и отображение об-
ращения являются биекциями.
  Доказательство. Как известно (см. п. 15.6), биективность отоб-
ражения равносильна его обратимости. Для исследуемых отображе-
ний lα , rα и ν легко указать обратные к ним отображения:
                (lα )−1 = lα−1 ; (rα )−1 = rα−1 ; ν −1 = ν.         (16.11)
  Скажем, первая из формул (16.11) немедленно следует из ассоци-
ативного закона для умножения перестановок и из свойств обратной
перестановки: если перестановку ϕ сначала умножить слева на α, а
потом результат умножить слева на α−1 , то мы вернемся к исходной
перестановке ϕ и т. д. "Самообратность" отображения ν равносильна
формуле (ϕ−1 )−1 = ϕ. ¤
   Замечание 16.6. Доказанное выше предложение понадобится нам
в п. 20.3 и в следующей главе, при изучении теории определителей.
  Замечание 16.7. Разумеется, утверждение, аналогичное предло-
жению 16.2, остается справедливым для любой группы по умноже-
нию.



            § 17. Циклические перестановки.
               Разложение перестановки
          в произведение независимых циклов
  17.1. Циклы и частичные циклы
  Определение 17.1. Перестановка ϕ ∈ Sn , имеющая в двустроч-
ной записи вид
                  µ                        ¶
                    1 2 3 ... n − 1 n
               ϕ=                            ,          (17.1)
                    2 3 4 ...      n     1
называется циклической (или циклом длины n) и обозначается
                        ϕ = (1, 2, 3, . . . , n − 1, n).             (17.2)
   Если {i1 , i2 , ..., is } — какое-либо s-элементное (2 6 s 6 n) под-
множество множества (16.1) (номера попарно различны, но не обя-
зательно идут по порядку), то символом (i1 , i2 , ..., is ) обозначается
перестановка
                        µ                      ¯                  ¶
                          i1 i2 . . . is−1 is ¯¯ j1 j2 . . . jn−s
 (i1 , i2 , ..., is ) =                                             , (17.3)
                          i2 i3 . . .  is  i1 ¯ j1 j2 . . . jn−s

Страницы