Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 163 стр.

§ 16     Алгебраические действия над перестановками            163

  Определение 16.4. Перестановки ϕ, ψ ∈ Sn называются комму-
тирующими, если ϕψ = ψϕ.
   Очевидно, единичная перестановка коммутирует со всеми пере-
становками.
   Выведем далее достаточное условие коммутирования двух пере-
становок.
  Предложение 16.1. Две независимые перестановки коммути-
руют.
   Доказательство. Если ϕ, ψ ∈ Sn независимы, то множество X =
{1, 2, ..., n} представляется в виде объединения трех попарно не пе-
ресекающихся подмножеств:
                         X = Dϕ ∪ Dψ ∪ C,
причем ϕ реально переставляет лишь номера из Dϕ и тождественна
на Dψ ∪ C, а ψ переставляет элементы Dψ и тождественна на Dϕ ∪ C.
   Докажем, что ϕψ = ψϕ, т. е. для любого i ∈ X
                         ϕ(ψ(i)) = ψ(ϕ(i)).                   (16.7)
   Если i ∈ Dϕ , то ϕ(i) ∈ Dϕ и ψ(ϕ(i)) = ϕ(i), а с другой стороны,
ψ(i) = i, и следовательно, ϕ(ψ(i)) = ϕ(i). Таким образом, равенство
(16.7) выполняется.
   Если i ∈ Dψ , то рассуждение совершенно аналогично.
   И уж совсем тривиальным образом равенство (16.7) выполняется
в случае i ∈ C: на таких i тождественны обе перестановки. ¤
  16.8. Отображения левого (правого) сдвига и обращения
на группе перестановок. Рассмотрим группу перестановок Sn и
следующие три типа отображений группы Sn в себя.
  1. Левые сдвиги. Зафиксируем перестановку α ∈ Sn и рассмотрим
отображение
                lα : Sn −→ Sn ; lα (ϕ) = αϕ; ϕ ∈ Sn ,         (16.8)
состоящее в левом умножении всех перестановок на фиксированную
перестановку α.
   2. Правые сдвиги определяются аналогично:
                rα : Sn −→ Sn ; rα (ϕ) = ϕα; ϕ ∈ Sn .         (16.9)
   3. Отображение обращения задается формулой
                ν : Sn −→ Sn ; ν(ϕ) = ϕ−1 ; ϕ ∈ Sn ,         (16.10)
т. е. сопоставляет каждой перестановке степени n обратную к ней
перестановку.