Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 161 стр.

§ 16     Алгебраические действия над перестановками          161

   При умножении ε "ведет себя как единица":

                           ϕε = εϕ = ϕ                      (16.4)

для любой перестановки ϕ ∈ Sn .
  16.4. Обратная перестановка. Всякая перестановка ϕ ∈ Sn
имеет обратную
                     ψ = ϕ−1 ∈ Sn ,
являющуюся биекцией, обратной к биекции ϕ (см. п. 15.6).
   Если перестановка ϕ задана двустрочной записью (16.2), то пере-
становку ϕ−1 можно задать двустрочной записью
                       µ                      ¶
                  −1     ϕ(1) ϕ(2) . . . ϕ(n)
                ϕ =                             ,           (16.5)
                          1     2   ...    n

где элементы в первой строке можно упорядочить (соответствую-
щим образом переставляя элементы второй строки).
   Перестановки ϕ и ψ = ϕ−1 связаны соотношениями

                          ϕψ = ψϕ = ε,                      (16.6)

фактически уже встречавшимися нам (в более общей ситуации) в
п. 15.6.
   Пример 16.3. Вычисление обратной перестновки:
                   µ                 ¶
                     1 2 3 4 5 6
                ϕ=                     ∈ S6 ;
                     3 4 1 5 6 2
           µ                 ¶ µ                 ¶
       −1    3 4 1 5 6 2           1 2 3 4 5 6
      ϕ =                      =                   .
             1 2 3 4 5 6           3 6 1 2 4 5

   16.5. Группа перестановок. Нам знакомо уже понятие группы
(см. замечание 14.1). Рассматривались также конкретные примеры
групп: группа обратимых матриц заданного размера, группа обрати-
мых линейных операторов, действующих в заданном пространстве.
   Умножение (композиция) перестановок удовлетворяет ассоциати-
вному закону; в множестве Sn существует нейтральный элемент ε и
для любого элемента существует обратный элемент. Поэтому можно
сделать следующий
   В ы в о д: Множество Sn перестановок фиксированной степени n
является группой относительно умножения.