Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

162 Теория перестановок Гл. 3
16.6. Область действия перестановки. Независимые пе-
рестановки
Определение 16.2. Областью действия перестановки ϕ ∈ S
n
называется множество номеров i ∈ X, "реально перемещаемых" пе-
рестановкой ϕ. Обозначение:
D
ϕ
= { i ∈ X : ϕ(i) 6= i }.
Заметим, что у тождественной перестановки область действия
оказывается пустой: D
ε
= ∅.
Дополнение X \ D
ϕ
множества D
ϕ
состоит из номеров, неподвиж-
ных под действием ϕ. Множество D
ϕ
инвариантно относительно ϕ,
т. е. i ∈ D
ϕ
влечет ϕ(i) ∈ D
ϕ
.
В самом деле, если бы ϕ(i) /∈ D
ϕ
, то элемент ϕ(i) был бы неподви-
жен под действием ϕ, т. е. выполнялось бы равенство ϕ(ϕ(i)) = ϕ(i),
которое, в силу биективности ϕ, влекло бы ϕ(i) = i, что противоре-
чит предположению i ∈ D
ϕ
.
Определение 16.3. Перестановки ϕ, ψ ∈ S
n
называются неза-
висимыми, если
D
ϕ
∩ D
ψ
= ∅.
Пример 16.4. Рассмотрим две перестановки:
ϕ =
µ
1 2 3 4 5 6
2 5 3 4 1 6
; ψ =
µ
1 2 3 4 5 6
1 2 6 4 5 3
.
Их области действия
D
ϕ
= {1, 2, 5}; D
ψ
= {3, 6}
не пересекаются; значит, ϕ и ψ независимы.
16.7. Коммутирующие перестановки. В примере 16.2 мы
убедились в том, что умножение перестановок не удовлетворяет ком-
мутативному закону, т. е., вообще говоря, ϕψ 6= ψϕ. Однако для
некоторых ϕ, ψ ∈ S
n
равенство ϕψ = ψϕ может выполняться. В
связи с этим дается
162                        Теория перестановок                                   Гл. 3

  16.6. Область действия перестановки. Независимые пе-
рестановки

  Определение 16.2. Областью действия перестановки ϕ ∈ Sn
называется множество номеров i ∈ X, "реально перемещаемых" пе-
рестановкой ϕ. Обозначение:

                          Dϕ = { i ∈ X : ϕ(i) 6= i }.


   Заметим, что у тождественной перестановки область действия
оказывается пустой: Dε = ∅.
   Дополнение X \ Dϕ множества Dϕ состоит из номеров, неподвиж-
ных под действием ϕ. Множество Dϕ инвариантно относительно ϕ,
т. е. i ∈ Dϕ влечет ϕ(i) ∈ Dϕ .
   В самом деле, если бы ϕ(i) ∈ / Dϕ , то элемент ϕ(i) был бы неподви-
жен под действием ϕ, т. е. выполнялось бы равенство ϕ(ϕ(i)) = ϕ(i),
которое, в силу биективности ϕ, влекло бы ϕ(i) = i, что противоре-
чит предположению i ∈ Dϕ .

  Определение 16.3. Перестановки ϕ, ψ ∈ Sn называются неза-
висимыми, если
                      Dϕ ∩ Dψ = ∅.

  Пример 16.4. Рассмотрим две перестановки:
            µ                         ¶          µ                       ¶
                1 2   3     4   5 6                  1 2   3   4   5 6
       ϕ=                                 ; ψ=                               .
                2 5   3     4   1 6                  1 2   6   4   5 3

  Их области действия

                          Dϕ = {1, 2, 5}; Dψ = {3, 6}

не пересекаются; значит, ϕ и ψ независимы.

  16.7. Коммутирующие перестановки. В примере 16.2 мы
убедились в том, что умножение перестановок не удовлетворяет ком-
мутативному закону, т. е., вообще говоря, ϕψ 6= ψϕ. Однако для
некоторых ϕ, ψ ∈ Sn равенство ϕψ = ψϕ может выполняться. В
связи с этим дается

Страницы