Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 181 стр.

§ 19         Разложение перестановки на транспозиции                   181

а можно в виде

             (1, 2, 3) = (2, 3, 1) = (2, 1) (2, 3) = (1, 2) (2, 3),

или в виде
                     (1, 2, 3) = (1, 3) (1, 2) (2, 3) (2, 3)

(при этом используется тот факт, что квадрат транспозиции равен
тождественной перестановке ε), или в виде

                     (1, 2, 3) = (1, 3) (2, 3) (1, 3) (2, 3)

(почему?) и т. д.
   Ниже будет доказано, что хотя разложение на транспозиции и
даже количество сомножителей в нем определены не однозначно,
четность количества сомножителей определена однозначно (ин-
вариантно).
   В качестве информации сообщим (без доказательства; подробнее
см. в задачнике [4, гл. 1, § 3]): в разложении перестановки на транс-
позиции количество сомножителей не может быть меньше, чем де-
кремент этой перестановки.
   И еще: позволим себе (условно) считать, что тождественная пе-
рестановка разлагается в произведение 0 транспозиций (таков ее де-
кремент!), хотя, кроме этого "разложения", имеется и множество
других: ε = (1, 2)(1, 3)(1, 3)(1, 2) и т. п.
  Пример 19.1. Разложим перестановку ϕ из примера 17.1 на тра-
нспозиции (в указанном примере она уже была разложена на неза-
висимые циклы):

                 ϕ = (1, 3, 9, 6) (2, 7) (5, 10, 8) =
                   = (1, 6) (1, 9) (1, 3) (2, 7) (5, 8) (5, 10).


  19.3. Коммутационные соотношения для транспозиций.
В дальнейшем нам понадобятся простые формулы, связанные с пе-
ремножением транспозиций.
   Предложение 19.3. 1. Для транспозиции (i, j) справедливо

                                  (i, j)2 = ε.                        (19.6)