Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 183 стр.

§ 19       Разложение перестановки на транспозиции                     183

   Заметим, что m 6= 1. В самом деле, равенство ε = τ1 , где τ1 —
транспозиция, ложно, поскольку правая часть перемещает (пере-
ставляет) два номера и, следовательно, не тождественна.
   Значит, m > 3, причем существует некоторое разложение

                          ε = τm τm−1 . . . τ3 τ2 τ1 ,               (19.10)

содержащее m транспозиций-сомножителей, и не существует ника-
кого разложения, содержащего m − 2 транспозиции.
   Возьмем действующую первой транспозицию

                             τ1 = (i, j) = (j, i)

и пометим один из номеров в ней, скажем j .
   После этого обратимся к соседней транспозиции

                             τ2 = (k, l) = (l, k)

и рассмотрим четыре возможных случая соотношения областей дей-
ствия транспозиций τ2 и τ1 .
   1. Области действия совпадают: {k, l} = {i, j}. Тогда сами транс-
позиции тоже совпадают:

                              τ2 = τ1 = (i, j),

и, в силу (19.6), в разложении (19.10) произойдет "сокращение":

                               τ2 τ1 = τ12 = ε,

после чего мы придем к "более короткому" разложению

                            ε = τm τm−1 . . . τ3 ,

содержащему m − 2 транспозиции, а это противоречит предположе-
нию.
   2. Области действия пересекаются по элементу i:

                           {k, l} ∩ {i, j} = {i}.

  В этом случае можно считать, что l = i и номера i, j, k попарно
различны. Применим коммутационное соотношение (19.7):

              τ2 τ1 = (i, k) (i, j ) = ( j , k) (i, k) = τ20 τ10 .