Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Знак и четность перестановки 185
Теорема 19.1. Если перестановка ϕ ∈ S
n
представляется двумя
способами в виде произведения транспозиций:
ϕ = τ
p
τ
p−1
. . . τ
2
τ
1
; (19.12)
ϕ = τ
0
q
τ
0
q−1
. . . τ
0
2
τ
0
1
, (19.13)
то числа p и q (количества сомножителей) имеют одинаковую чет-
ность.
Доказательство. Из условия следует равенство
τ
p
τ
p−1
. . . τ
2
τ
1
= τ
0
q
τ
0
q−1
. . . τ
0
2
τ
0
1
. (19.14)
Умножим (19.14) справа на произведение τ
1
τ
2
. . . τ
p−1
τ
p
и учтем
самообратность транспозиций
τ
2
1
= τ
2
2
= · · · = τ
2
p
= ε.
Получим
ε = τ
0
q
τ
0
q−1
. . . τ
0
2
τ
0
1
τ
1
τ
2
. . . τ
p−1
τ
p
, (19.15)
что является разложением тождественной перестановки в произве-
дение p + q транспозиций.
В силу предложения 19.4, число p + q должно быть четным, а
значит, числа p и q должны быть либо оба четными, либо оба нечет-
ными.
Теорема доказана. ¤
§
§
§ 20. Знак и четность перестановки
20.1. Знак перестановки. Пусть дана перестановка ϕ ∈ S
n
.
Разложим ее (каким-либо образом) в произведение транспозиций
(19.12).
Определение 20.1. Знаком перестановки ϕ называется число
sgn(ϕ) = (−1)
p
, (20.1)
где p — количество транспозиций в разложении (19.12).
§ 20              Знак и четность перестановки                         185

  Теорема 19.1. Если перестановка ϕ ∈ Sn представляется двумя
способами в виде произведения транспозиций:

                            ϕ = τp τp−1 . . . τ2 τ1 ;                (19.12)

                            ϕ = τq0 τq−1
                                     0
                                         . . . τ20 τ10 ,             (19.13)
то числа p и q (количества сомножителей) имеют одинаковую чет-
ность.
   Доказательство. Из условия следует равенство

                   τp τp−1 . . . τ2 τ1 = τq0 τq−1
                                              0
                                                  . . . τ20 τ10 .    (19.14)

  Умножим (19.14) справа на произведение τ1 τ2 . . . τp−1 τp и учтем
самообратность транспозиций

                        τ12 = τ22 = · · · = τp2 = ε.

   Получим
                           0
                  ε = τq0 τq−1 . . . τ20 τ10 τ1 τ2 . . . τp−1 τp ,   (19.15)
что является разложением тождественной перестановки в произве-
дение p + q транспозиций.
  В силу предложения 19.4, число p + q должно быть четным, а
значит, числа p и q должны быть либо оба четными, либо оба нечет-
ными.
  Теорема доказана. ¤



          § 20. Знак и четность перестановки

   20.1. Знак перестановки. Пусть дана перестановка ϕ ∈ Sn .
Разложим ее (каким-либо образом) в произведение транспозиций
(19.12).
   Определение 20.1. Знаком перестановки ϕ называется число

                              sgn(ϕ) = (−1)p ,                        (20.1)

где p — количество транспозиций в разложении (19.12).

Страницы