Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 184 стр.

184                       Теория перестановок                           Гл. 3

  Снова получилось произведение двух транспозиций, но помечен-
ный номер j переместился во вторую справа транспозицию τ20 , а
новая первая транспозиция τ10 номер j не содержит.
  3. Аналогичное явление происходит и в случае
                            {k, l} ∩ {i, j} = { j }.
  Можем считать l = j; с помощью (19.8) получим:
               τ2 τ1 = ( j , k) (i, j ) = (i, j ) (i, k) = τ20 τ10 .

  Снова j переместился в τ20 и отсутствует в τ10 .
  4. В случае
                     {k, l} ∩ {i, j} = ∅
еще проще:
                         τ2 τ1 = τ1 τ2 = (i, j ) (k, l)
с тем же эффектом.
   Итак, на первом шаге либо происходит сокращение и получается
противоречие, либо отмеченный номер перемещается с первой пози-
ции на вторую, правее которой он отсутствует.
   На втором шаге (если он понадобится) мы рассматриваем "новых
соседей" (τ3 и τ20 ) и проводим аналогичный анализ; и т. д.
   Ясно, что в этом процессе
   — либо на некотором шаге произойдет сокращение и получится
противоречие;
   — либо помеченный номер j "благополучно доберется" до по-
следней (крайней слева) позиции и будет отсутствовать правее этой
позиции.
   В последнем случае получим разложение
                            ε = τ̃m τ̃m−1 . . . τ̃3 τ̃2 τ̃1 ,          (19.11)
где τ̃m = (h, j ) [а остальные транспозиции не содержат j ], что
также приводит к противоречию, ибо левая часть (19.11) оставляет
все номера на месте, а правая переводит j в h 6= j (поскольку
транспозиции τ̃m−1 , . . . , τ̃2 , τ̃1 не содержат и, следовательно, не пере-
мещают j ).
   Итог: во всех случаях получается противоречие. Значит, сделан-
ное предположение не верно и предложение доказано. ¤
  Переходим к формулировке основного результата настоящего па-
раграфа.