Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 182 стр.

182                   Теория перестановок                     Гл. 3

  2. Пусть i, j, k — три попарно различных номера. Тогда справед-
ливы формулы:
                       (i, k) (i, j) = (j, k) (i, k);       (19.7)

                       (j, k) (i, j) = (i, j) (i, k).         (19.8)

  3. Пусть i, j, k, l — четыре попарно различных номера. Тогда

                       (k, l) (i, j) = (i, j) (k, l).         (19.9)



   Доказательство. Первая формула уже не раз встречалась [см.
(19.3)].
   Второе соотношение получается с помощью разложения цикла на
транспозиции (предложение 19.1; см. также замечание 17.1):

                  (i, k) (i, j) = (i, j, k) = (j, k, i) =
                =(k, i, j) = (k, j) (k, i) = (j, k) (i, k).

   Третье соотношение получается из второго заменой j на k и об-
ратно.
   Четвертое соотношение является частным случаем предложения
16.1: две независимые транспозиции коммутируют. ¤
  19.4. Теорема о разложениях перестановки на транспо-
зиции. В этом пункте мы докажем объявленную в замечании 19.1
инвариантность четности количества транспозиций в разложении пе-
рестановки.
  Предварительно мы установим вспомогательное предложение о
разложениях на транспозиции тождественной перестановки. Обра-
тите внимание на его доказательство. На наш взгляд, оно совершен-
но замечательно, в нем — особый алгебраический шарм.
   Предложение 19.4. Тождественную перестановку нельзя пред-
ставить в виде произведения нечетного числа транспозиций.
  Доказательство. Рассмотрим тождественную перестановку ε ∈
Sn (n > 2). Предположим, что ε можно представить в виде произ-
ведения нечетного числа транспозиций. Выберем число m как наи-
меньшее из таких нечетных чисел s, что существует разложение ε в
произведение s транспозиций.