Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 186 стр.

186                  Теория перестановок                   Гл. 3

  Замечание 20.1. Мы помним о неоднозначности разложения на
транспозиции. Но помним также, что если найдется другое разло-
жение (19.13), содержащее q сомножителей, то число q имеет такую
же четность, что и p, и следовательно, (−1)p = (−1)q .
  Этим доказана корректность определения 20.1.
  Замечание 20.2. Отметим простейшие следствия из данного выше
определения:
  1) для транспозиции τ знак

                          sgn(τ ) = −1;                    (20.2)

  2) для тождественной перестановки

                           sgn(ε) = 1.                     (20.3)

  Замечание 20.3. Из предложения 19.2 вытекает, что

                        sgn(ϕ) = (−1)δ(ϕ) ,                (20.4)

где δ(ϕ) — декремент перестановки ϕ.
  Замечание 20.4. Предостережем вас от неграмотного словоупо-
требления типа "знак перестановки +".
  Знак — это число (1 или −1).
   Пример 20.1. Вычислим знак перестановки ϕ из примера 19.1
(в том примере перестановка была разложена в произведение 6 тран-
спозиций; см. также пример 19.2, где констатировалось, что декре-
мент этой перестановки δ(ϕ) = 6). По определению 20.1,

                  sgn(ϕ) = (−1)δ(ϕ) = (−1)6 = 1.

   20.2. Свойства знака. В п. 16.5 мы установили, что множество
Sn является группой по умножению. Заметим теперь, что множе-
ство (состоящее из двух целых чисел)

                          Z∗ = { 1 , −1 }                  (20.5)

также является группой по умножению.
  Мы уже знакомы и с понятием гомоморфизма одного алгебраи-
ческого объекта в другой, однотипный алгебраический объект (см.