Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 188 стр.

188                  Теория перестановок                   Гл. 3

  Замечание 20.5. Будучи гомоморфизмом, отображение sgn обла-
дает еще свойствами sgn(ε) = 1 (что уже отмечалось) и

                      sgn(ϕ−1 ) = (sgn(ϕ))−1              (20.11)

для любой перестановки ϕ ∈ Sn .
  Но поскольку элементы группы Z∗ самообратны, то последняя
формула приобретает вид

                       sgn(ϕ−1 ) = sgn(ϕ).                (20.12)

  20.3. Четность перестановки. Подгруппа четных переста-
новок

   Определение 20.2. Перестановка ϕ ∈ Sn называется четной,
если sgn(ϕ) = 1, и нечетной, если sgn(ϕ) = −1.
   Множество четных перестановок обозначается

                  An = { ϕ ∈ Sn : sgn(ϕ) = 1 }.           (20.13)


   Сделаем небольшое отвлечение о подобъектах в алгебраических
объектах. Подмножество в каком-либо алгебраическом объекте на-
зывается подобъектом, если оно устойчиво относительно всех алгеб-
раических операций, характерных для рассматриваемого типа объ-
ектов. (В таком случае это подмножество само становится объектом
того же типа.)
   Например, мы уже активно работали с линейными подпростран-
ствами в линейных пространствах (см. п. 3.2). Теперь мы познако-
мимся с понятием подгруппы.
   Подгруппой является такое подмножество H в группе G, которое
   1) вместе с любыми двумя элементами h1 , h2 ∈ H содержит их
произведение h1 · h2 ∈ H;
   2) содержит единичный элемент 1 ∈ H;
   3) вместе с каждым элементом h ∈ H содержит обратный элемент
 −1
h ∈ H.
   Применяется обозначение H 6 G (такое же, как и для линейных
подпространств, но здесь оно читается соответственно: H является
подгруппой в группе G).