Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Знак и четность перестановки 189
Предложение 20.2. Множество четных перестановок A
n
явля-
ется подгруппой в группе всех перестановок S
n
, т. е.
A
n
6 S
n
. (20.14)
Доказательство. 1. Если ϕ, ψ ∈ A
n
, т. е. sgn(ϕ) = sgn(ψ) = 1,
то, в силу предложения 20.1, sgn(ϕψ) = sgn(ϕ)sgn(ψ) = 1, и следова-
тельно, ϕψ ∈ A
n
.
2. Тождественная перестановка ε ∈ A
n
, т. к. sgn(ε) = 1.
3. Из свойства (20.12) следует, что ϕ ∈ A
n
влечет ϕ
−1
∈ A
n
. ¤
Замечание 20.6. Подмножество всех нечетных перестановок B
n
=
S
n
\ A
n
подгруппой в S
n
не является. (Почему?)
Подсчитаем теперь количество четных перестановок степени n.
Для этого рассмотрим биекцию
l
τ
: S
n
−→ S
n
; l
τ
(ϕ) = τϕ; ϕ ∈ S
n
(20.15)
левого сдвига на произвольную (фиксированную) транспозицию
τ ∈ S
n
(см. п. 16.8).
Из свойства (20.10) с учетом (20.2) имеем:
sgn(τϕ) = −sgn(ϕ). (20.16)
Следовательно, биекция l
τ
переводит четные перестановки в не-
четные и наоборот. Стало быть, количество четных перестановок
равно количеству нечетных:
|A
n
| = |B
n
| =
|S
n
|
2
=
n!
2
. (20.17)
Пример 20.2. Вернемся к примеру 16.1, в котором были пере-
числены все перестановки в группах S
2
, S
3
и S
4
.
Соблюдая принятый в списках примера 16.1 порядок перечисле-
ния перестановок, мы каждую из этих перестановок разложим на
(нетривиальные) независимые циклы, а затем — на транспозиции,
после чего определим ее порядок и знак.
(А вы обратите внимание на омонимию: выше слово "порядок"
употреблено в двух различных математических смыслах.)
§ 20             Знак и четность перестановки                 189

   Предложение 20.2. Множество четных перестановок An явля-
ется подгруппой в группе всех перестановок Sn , т. е.

                             An 6 Sn .                      (20.14)



   Доказательство. 1. Если ϕ, ψ ∈ An , т. е. sgn(ϕ) = sgn(ψ) = 1,
то, в силу предложения 20.1, sgn(ϕψ) = sgn(ϕ)sgn(ψ) = 1, и следова-
тельно, ϕψ ∈ An .
   2. Тождественная перестановка ε ∈ An , т. к. sgn(ε) = 1.
   3. Из свойства (20.12) следует, что ϕ ∈ An влечет ϕ−1 ∈ An . ¤
  Замечание 20.6. Подмножество всех нечетных перестановок Bn =
Sn \ An подгруппой в Sn не является. (Почему?)
  Подсчитаем теперь количество четных перестановок степени n.
Для этого рассмотрим биекцию

                lτ : Sn −→ Sn ; lτ (ϕ) = τ ϕ; ϕ ∈ Sn        (20.15)

левого сдвига на произвольную (фиксированную) транспозицию
τ ∈ Sn (см. п. 16.8).
   Из свойства (20.10) с учетом (20.2) имеем:

                        sgn(τ ϕ) = −sgn(ϕ).                 (20.16)

  Следовательно, биекция lτ переводит четные перестановки в не-
четные и наоборот. Стало быть, количество четных перестановок
равно количеству нечетных:

                                       |Sn |  n!
                     |An | = |Bn | =         = .            (20.17)
                                         2    2

   Пример 20.2. Вернемся к примеру 16.1, в котором были пере-
числены все перестановки в группах S2 , S3 и S4 .
   Соблюдая принятый в списках примера 16.1 порядок перечисле-
ния перестановок, мы каждую из этих перестановок разложим на
(нетривиальные) независимые циклы, а затем — на транспозиции,
после чего определим ее порядок и знак.
   (А вы обратите внимание на омонимию: выше слово "порядок"
употреблено в двух различных математических смыслах.)

Страницы