Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 187 стр.

§ 20             Знак и четность перестановки                 187

замечание 15.1). Сейчас нашими объектами являются группы. Отоб-
ражение
                          f : G1 −→ G2
называется гомоморфизмом групп, если оно согласовано с операци-
ями (умножения) в этих группах, т. е. если для любых элементов
g, h ∈ G1 справедливо равенство

                       f (g · h) = f (g) · f (h).            (20.6)

  Из условия (20.6) легко выводятся следующие свойства гомомор-
физмов:
                            f (1) = 1;                    (20.7)
                        f (g −1 ) = (f (g))−1 .              (20.8)
   Заметьте, что в формуле (20.6) один и тот же символ " · " обо-
значает, вообще говоря, разные умножения в разных группах, а в
формуле (20.7) один и тот же символ "1" обозначает разные едини-
цы. (Скажем, в группе Sn : умножение — это композиция, единица —
это тождественная перестановка, а в группе Z∗ : и умножение, и еди-
ница — обычные, числовые.)
   Предложение 20.1. Отображение вычисления знака

                sgn : Sn −→ Z∗ ; ϕ 7→ sgn(ϕ); ϕ ∈ Sn         (20.9)

является гомоморфизмом групп, т. е. для любых перестановок ϕ, ψ
справедливо равенство

                     sgn(ϕψ) = sgn(ϕ)sgn(ψ).                (20.10)



   Доказательство. Обе данные перестановки можно разложить на
транспозиции. Пусть в разложении для ϕ имеется p транспозиций,
а в разложении для ψ — q транспозиций.
   Для произведения ϕψ получится разложение, содержащее p + q
транспозиций. Поэтому

         sgn(ϕψ) = (−1)p+q = (−1)p (−1)q = sgn(ϕ)sgn(ψ).

   Предложение доказано. ¤