Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

242 Теория определителей Гл. 4
3. Перебираем миноры второго порядка, окаймляющие выбран-
ный минор первого порядка, до тех пор пока не переберем все (и
они все окажутся нулевыми) или пока не обнаружим ненулевой ми-
нор
2
M. В первом случае rank(A) = 1 и в качестве рангового можно
предъявить выбранный на предыдущем шаге ненулевой минор
1
M.
Во втором случае перебираем миноры третьего порядка, окаймляю-
щие выбранный на предыдущем шаге ненулевой минор
2
M; и т. д.
4. Останов происходит, либо когда найденный на шаге с номе-
ром r ненулевой минор
r
M не имеет окаймляющих [ это бывает, если
r = min(m, n) ], либо когда все миноры
r+1
M , окаймляющие минор
r
M,
равны нулю. В обоих случаях выводим
О т в е т: rank(A) = r;
r
M — ранговый минор.
Замечание 30.8. Здесь мы не уточняем способ выбора первого
ненулевого минора и — на каждом шаге — способ перебора окайм-
ляющих миноров, но если программисту потребуется довести метод,
изложенный в виде общей идеи, до уровня работающей программы,
то все необходимые уточнения ему придется сделать.
Впрочем, данный конкретный метод имеет скорее теоретическое
(и познавательное) значение. При ручном счете (для небольших мат-
риц) его можно применять, но чуть более громоздкая задача вызовет
уже большие затруднения.
Ранг матрицы легко вычисляется методом Гаусса (который можно
дополнить таким образом, чтобы выдавался не только ранг, но и
ранговый минор).
Пример 30.1. Вычислим с помощью метода окаймляющих ми-
норов ранг матрицы
A =
−6 4 8 −1 6
−5 2 4 1 3
7 2 4 1 3
2 4 8 −7 6
3 2 4 −5 3
.
Ненулевой минор первого порядка:
1
M
1
1
= −6.
Окаймляющие миноры будем перебирать по такой системе: доба-
вим к списку строк первую из в него не вошедших и аналогично со
списком столбцов.
242                 Теория определителей                   Гл. 4

  3. Перебираем миноры второго порядка, окаймляющие выбран-
ный минор первого порядка, до тех пор пока не переберем все (и
они все окажутся нулевыми) или пока не обнаружим ненулевой ми-
      2
нор M . В первом случае rank(A) = 1 и в качестве рангового можно
                                                              1
предъявить выбранный на предыдущем шаге ненулевой минор M .
Во втором случае перебираем миноры третьего порядка, окаймляю-
                                                      2
щие выбранный на предыдущем шаге ненулевой минор M ; и т. д.
  4. Останов происходит, либо когда найденный на шаге с номе-
                       r
ром r ненулевой минор M не имеет окаймляющих [ это бывает, если
                                     r+1                      r
r = min(m, n) ], либо когда все миноры M , окаймляющие минор M ,
равны нулю. В обоих случаях выводим
                           r
  О т в е т: rank(A) = r; M — ранговый минор.
   Замечание 30.8. Здесь мы не уточняем способ выбора первого
ненулевого минора и — на каждом шаге — способ перебора окайм-
ляющих миноров, но если программисту потребуется довести метод,
изложенный в виде общей идеи, до уровня работающей программы,
то все необходимые уточнения ему придется сделать.
   Впрочем, данный конкретный метод имеет скорее теоретическое
(и познавательное) значение. При ручном счете (для небольших мат-
риц) его можно применять, но чуть более громоздкая задача вызовет
уже большие затруднения.
   Ранг матрицы легко вычисляется методом Гаусса (который можно
дополнить таким образом, чтобы выдавался не только ранг, но и
ранговый минор).
  Пример 30.1. Вычислим с      помощью метода окаймляющих ми-
норов ранг матрицы
                                         
                      −6       4   8 −1 6
                     −5       2   4 1 3
                                         
                  A= 7        2   4 1 3.
                                         
                       2       4   8 −7 6
                       3       2   4 −5 3
                                     1
  Ненулевой минор первого порядка: M 11 = −6.
  Окаймляющие миноры будем перебирать по такой системе: доба-
вим к списку строк первую из в него не вошедших и аналогично со
списком столбцов.

Страницы