Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 240 стр.

240                 Теория определителей                   Гл. 4

  2. Докажем, что всякий минор порядка r + 1 равен нулю. Пред-
положим противное, т. е. предположим, что найдется некоторый
r+1
M 6= 0. Согласно предложению 28.2, столбцы этого минора являют-
ся линейно независимыми векторами. Рассмотрим столбцы исходной
                                                         r+1
матрицы A, являющиеся продолжениями столбцов минора M . Эти
(более длинные) столбцы также линейно независимы (в силу заме-
чания 9.3 об "укорачивании" системы векторов). Последний факт
свидетельствует о том, что (столбцовый) ранг матрицы A не может
быть ниже r + 1, что противоречит предположению. ¤
   Замечание 30.6. После второй теоремы о ранге мы имеем право
всюду в дальнейшем употреблять обозначение rank(A), не уточняя,
о каком типе ранга идет речь. (В нужный момент будут использо-
ваться различные характеризации ранга.)
   В качестве следствия из теоремы 30.1 докажем
                                                k
  Предложение 30.3. Всякий ненулевой минор M матрицы A мо-
жно включить в некоторый ранговый минор.
   Доказательство. Пусть rank(A) = r.
   Столбцы данного минора линейно независимы (в пространстве
 k
R ). Являющиеся их продолжениями столбцы данной матрицы бу-
дут линейно независимыми векторами в пространстве Rm (рассуж-
даем так же, как и во втором пункте доказательства теоремы 30.1).
   Составим из продолженных столбцов подматрицу G; ее столбцо-
вый ранг будет равен k.
   В соответствии со свойством продолжения базисов (см. предложе-
ние 10.2) система векторов-столбцов матрицы G может быть вклю-
чена в некоторый базис в линейной оболочке столбцов A (причем
добавочные r − k векторов могут быть выбраны из числа столбцов
матрицы A).
   Базисные столбцы будут образовывать (более широкую, чем G)
подматрицу B размера m × r (и ранга r).
   Рассмотрим теперь те строки матрицы B, которые "пересекают"
исходный минор. Они линейно независимы и могут быть дополнены
до базиса в линейной оболочке строк матрицы B.
   Рассмотрим далее подматрицу C размера r × r в матрице B, об-
разованную базисными строками. Ее определитель будет ранговым
минором и будет включать исходный минор. ¤