Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 239 стр.

§ 30                 Минорный ранг матрицы                   239

  С учетом предложения 30.1 правило из замечания 30.5 допускает
более лаконичную формулировку.

  Предложение 30.2. Минорный ранг матрицы A равен (неотри-
цательному целому) числу r тогда и только тогда, когда выполня-
                     r    r             r+1   r+1
ются условия: 1) (∃M ) [ M 6= 0 ] и 2) (∀ M ) [ M = 0 ]. ¤

   Определение 30.3. Если rankмин (A) = r, то всякий ненулевой
                         r
минор порядка r (т. е. M 6= 0) называется ранговым минором для
матрицы A.



   30.3. Вторая теорема о ранге матрицы. Согласно теореме
12.1 (первой теореме о ранге матрицы), ступенчатый, столбцовый и
строчный ранги совпадают. Сейчас мы присоединим к этой "компа-
нии" минорный ранг.

  Теорема 30.1 (вторая теорема о ранге матрицы). Все четыре
ранга (ступенчатый, столбцовый, строчный и минорный) совпадают.

   Доказательство. Пусть rank(A) = r (здесь имеется в виду любой
из трех первых рангов, про которые уже известно, что они совпада-
ют). Докажем, что минорный ранг матрицы A также равен r.
   Для случая r = 0 утверждение очевидно: для каждого из четырех
рангов его обращение в нуль равносильно обращению в нуль самой
матрицы. Поэтому далее мы считаем, что r > 0. [Кроме того, мы
помним, что r 6 min(m, n).]
   Нам надо доказать равенство (30.3). Согласно предложению 30.2,
оно равносильно конъюнкции двух утверждений.
   1. Докажем существование минора порядка r, отличного от нуля.
Поскольку rankстб (A) = r, в матрице A найдется r линейно незави-
симых столбцов. Соберем их в подматрицу B размера m × r. Столб-
цовый ранг подматрицы B, очевидно, тоже равен r (все столбцы B
линейно независимы). В силу теоремы 12.1, rankстр (B) = r, и сле-
довательно, в матрице B найдутся r линейно независимых строк.
Соберем эти строки в подматрицу C размера r × r. Определитель
квадратной подматрицы C будет минором порядка r для исходной
матрицы A. В силу предложения 28.2, этот минор будет отличен от
нуля.