Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Минорный ранг матрицы 237
(из n элементов по k). (В замечании 21.1 мы эту формулу уже ис-
пользовали в частном случае сочетаний из n элементов по 2.)
Из n номеров столбцов можно n(n − 1)...(n − k + 1) способами
выбрать k-элементный упорядоченный набор j
1
, j
2
, ..., j
k
. Существу-
ет k! различных способов упорядочения набора мощности k. Только
один из этих способов дает набор, упорядоченный по возрастанию.
Поэтому количество упорядоченных по возрастанию наборов из k
столбцов будет равно:
C
k
n
=
n(n − 1)...(n − k + 1)
k!
. (30.2)
Аналогично количество упорядоченных по возрастанию наборов
i
1
, i
2
, ..., i
k
из номеров строк будет равно C
k
m
.
При образовании минора k-го порядка любой из подсчитанных вы-
ше наборов строк может сочетаться с любым из наборов столбцов.
Поэтому общее количество миноров порядка k будет равно произве-
дению C
k
m
· C
k
n
.
Миноры первого порядка суть элементы данной матрицы. Их
количество равно mn.
Замечание 30.3. Термин "миноры" уже "звучал" ранее (см. заме-
чание 25.1) в специальном частном случае, когда данная матрица A
была квадратной и мы, вычеркивая из нее i-ю строку и j-й стол-
бец и беря определитель оставшейся квадратной матрицы, получали
миноры (n − 1)-го порядка M
ij
.
Заметьте, что система обозначений § 25 отличается от принятой
в настоящем параграфе. Так, описанный выше минор порядка n −1
по принципу, сформулированному в определении 30.1, получил бы
обозначение
M
ij
=
n−1
M
1,...,i−1,i+1,...,n
1,...,j−1,j+1,...,n
.
30.2. Минорный ранг матрицы. Ранее были введены (см.
определения 11.2 и 12.2) три типа ранга: ступенчатый, столбцовый
и строчный. Ниже дается определение еще одного, четвертого типа.
Определение 30.2. Минорным рангом матрицы A
m×n
называется
наивысший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля. (Ес-
ли таковых вообще нет, то минорный ранг считается равным нулю.)
Обозначение: rank
мин
(A).
§ 30                 Минорный ранг матрицы                         237

(из n элементов по k). (В замечании 21.1 мы эту формулу уже ис-
пользовали в частном случае сочетаний из n элементов по 2.)
   Из n номеров столбцов можно n(n − 1)...(n − k + 1) способами
выбрать k-элементный упорядоченный набор j1 , j2 , ..., jk . Существу-
ет k! различных способов упорядочения набора мощности k. Только
один из этих способов дает набор, упорядоченный по возрастанию.
   Поэтому количество упорядоченных по возрастанию наборов из k
столбцов будет равно:

                            n(n − 1)...(n − k + 1)
                    Cnk =                          .              (30.2)
                                      k!

     Аналогично количество упорядоченных по возрастанию наборов
                                                k
i1 , i2 , ..., ik из номеров строк будет равно Cm .
     При образовании минора k-го порядка любой из подсчитанных вы-
ше наборов строк может сочетаться с любым из наборов столбцов.
Поэтому общее количество миноров порядка k будет равно произве-
                k
дению Cm          · Cnk .
     Миноры первого порядка суть элементы данной матрицы. Их
количество равно mn.
   Замечание 30.3. Термин "миноры" уже "звучал" ранее (см. заме-
чание 25.1) в специальном частном случае, когда данная матрица A
была квадратной и мы, вычеркивая из нее i-ю строку и j-й стол-
бец и беря определитель оставшейся квадратной матрицы, получали
миноры (n − 1)-го порядка Mij .
   Заметьте, что система обозначений § 25 отличается от принятой
в настоящем параграфе. Так, описанный выше минор порядка n − 1
по принципу, сформулированному в определении 30.1, получил бы
обозначение
                              n−1
                                    1,...,i−1,i+1,...,n
                      Mij = M       1,...,j−1,j+1,...,n .



   30.2. Минорный ранг матрицы. Ранее были введены (см.
определения 11.2 и 12.2) три типа ранга: ступенчатый, столбцовый
и строчный. Ниже дается определение еще одного, четвертого типа.
   Определение 30.2. Минорным рангом матрицы A называется
                                                            m×n
наивысший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля. (Ес-
ли таковых вообще нет, то минорный ранг считается равным нулю.)
Обозначение: rankмин (A).

Страницы