Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 235 стр.

§ 29   Квадратные линейные системы. Формулы Крамера              235

или в векторном виде:
                                      
                                   ∆1
                               1  ∆2 
                          x̄ =        .                       (29.8)
                               ∆   ...
                                   ∆n
   Подводим итог: доказано следующее
   Предложение 29.2. Рассмотрим квадратную с.л.у. вида (29.1).
Пусть ∆ — ее главный определитель (29.6), а ∆i — определители,
получаемые из определителя ∆ заменой его i-го столбца на столбец
правых частей b̄.
   Если ∆ 6= 0, то система (29.1) является совместной и определенной
и ее единственное решение может быть найдено по формуле (29.8). ¤
  Замечание 29.2. Продолжая "идеологию" замечания 29.1, конста-
тируем малую пригодность формул Крамера для серьезных практи-
ческих вычислений. Однако эти формулы дают явный ответ, чем
объясняется их теоретическое значение.
  Пример 29.1. Вернемся к примеру 7.1 и перерешаем приведен-
ную там квадратную с.л.у. (содержащую параметр) с использовани-
ем формул Крамера.
  Вычислим главный определитель системы:
                      ¯         ¯
                      ¯λ 1 1¯
                      ¯         ¯
                 ∆ = ¯¯ 1 λ 1 ¯¯ = λ3 − 3λ + 2.
                      ¯1 1 λ¯

  Корни полученного кубического многочлена легко найти подбо-
ром или группировкой:

  λ3 − 3λ + 2 = (λ3 − 2λ2 + λ) + (2λ2 − 4λ + 2) =
                         = λ(λ − 1)2 + 2(λ − 1)2 = (λ − 1)2 (λ + 2).

  Особые случаи λ = 1 и λ = −2 анализируются по Гауссу. (Кра-
мер здесь — "не помощник".)
  При рассмотрении неособого случая λ 6∈ {1, −2} понадобятся три
определителя
             ¯        ¯         ¯        ¯         ¯        ¯
             ¯1 1 1¯            ¯λ 1 1¯            ¯λ 1 1¯
             ¯        ¯         ¯        ¯         ¯        ¯
       ∆1 = ¯¯ 1 λ 1 ¯¯ ; ∆2 = ¯¯ 1 1 1 ¯¯ ; ∆3 = ¯¯ 1 λ 1 ¯¯ .
             ¯1 1 λ¯            ¯1 1 λ¯            ¯1 1 1¯