Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

234 Теория определителей Гл. 4
алгоритм Ж.—Г. (Если вычислять по Гауссу A
−1
, то разумнее сразу
решать по Гауссу систему.)
Поэтому для нахождения A
−1
в данном случае естественно приме-
нять второй, явный алгоритм, использующий присоединенную мат-
рицу. (См. соответствующий комментарий в п. 28.3.)
Такой подход позволит нам (в следующем пункте) сделать "еще
более явной" формулу (29.2).
29.2. Решение квадратных с.л.у. по формулам Краме-
ра. Обозначим
∆ = det(A) (29.3)
так называемый главный определитель квадратной системы (29.1).
Предположим, что он отличен от нуля. Тогда существует обратная
матрица A
−1
и ее элементы могут быть определены (через алгебра-
ические дополнения к элементам A) по формулам
[A
−1
]
ij
=
1
∆
[A
∨
]
ij
=
1
∆
A
ji
; i, j = 1, ..., n. (29.4)
Координаты вектора (29.2), являющегося решением с.л.у., могут
быть выражены формулами
x
i
=
n
X
j=1
[A
−1
]
ij
b
j
=
n
X
j=1
1
∆
A
ji
b
j
=
1
∆
n
X
j=1
A
ji
b
j
. (29.5)
Рассмотрим результат, полученный в (29.5), с точки зрения тео-
ремы Лапласа 25.1. Фигурирующая в правой части сумма является
не чем иным, как разложением по i-му столбцу следующего опреде-
лителя:
∆
i
= det(¯a
1
|...|¯a
i−1
|
¯
b |¯a
i+1
|...|¯a
n
), (29.6)
где i = 1, ..., n. Этот определитель получается из главного определи-
теля ∆ заменой его i-го столбца ¯a
i
на столбец правых частей
¯
b.
[Напомним (см. замечание 25.1), что алгебраическое дополнение
к элементу определителя зависит лишь от позиции этого элемен-
та. Так, алгебраическим дополнением к элементу b
j
определителя
(29.6) служит алгебраическое дополнение к элементу a
ji
, стоявшему
на этом месте в исходной матрице A.]
Таким образом, решение с.л.у. (29.1) (в случае ∆ 6= 0) может быть
найдено по следующим формулам (называемым формулами Краме-
ра):
x
i
=
∆
i
∆
; i = 1, ..., n, (29.7)
234                       Теория определителей                           Гл. 4

алгоритм Ж.—Г. (Если вычислять по Гауссу A−1 , то разумнее сразу
решать по Гауссу систему.)
  Поэтому для нахождения A−1 в данном случае естественно приме-
нять второй, явный алгоритм, использующий присоединенную мат-
рицу. (См. соответствующий комментарий в п. 28.3.)
  Такой подход позволит нам (в следующем пункте) сделать "еще
более явной" формулу (29.2).
  29.2. Решение квадратных с.л.у. по формулам Краме-
ра. Обозначим
                     ∆ = det(A)                (29.3)
так называемый главный определитель квадратной системы (29.1).
Предположим, что он отличен от нуля. Тогда существует обратная
матрица A−1 и ее элементы могут быть определены (через алгебра-
ические дополнения к элементам A) по формулам
                              1 ∨       1
              [A−1 ]ij =        [A ]ij = Aji ; i, j = 1, ..., n.         (29.4)
                              ∆         ∆
  Координаты вектора (29.2), являющегося решением с.л.у., могут
быть выражены формулами
                   n
                   X                     Xn                n
                           −1                1          1 X
            xi =         [A     ]ij bj =       Aji bj =       Aji bj .   (29.5)
                   j=1                   j=1
                                             ∆          ∆ j=1

   Рассмотрим результат, полученный в (29.5), с точки зрения тео-
ремы Лапласа 25.1. Фигурирующая в правой части сумма является
не чем иным, как разложением по i-му столбцу следующего опреде-
лителя:
                 ∆i = det(ā1 |...|āi−1 | b̄ |āi+1 |...|ān ), (29.6)
где i = 1, ..., n. Этот определитель получается из главного определи-
теля ∆ заменой его i-го столбца āi на столбец правых частей b̄.
   [Напомним (см. замечание 25.1), что алгебраическое дополнение
к элементу определителя зависит лишь от позиции этого элемен-
та. Так, алгебраическим дополнением к элементу bj определителя
(29.6) служит алгебраическое дополнение к элементу aji , стоявшему
на этом месте в исходной матрице A.]
   Таким образом, решение с.л.у. (29.1) (в случае ∆ 6= 0) может быть
найдено по следующим формулам (называемым формулами Краме-
ра):
                                ∆i
                           xi =    ; i = 1, ..., n,             (29.7)
                                ∆

Страницы