Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 233 стр.

§ 29   Квадратные линейные системы. Формулы Крамера              233

  Равенство, очевидно, верное, но правая часть выдана неупрощен-
ной. Предвидя это, можно было сразу набрать правую часть с ко-
мандой на упрощение:
   > evalm( A ˆ (−1) ) = map( simplify, evalm( adj( A ) / det( A ) ));
   Тогда правая часть окажется идентична левой.



                § 29. Решение квадратных
               систем линейных уравнений
              с помощью обратной матрицы
                 и по формулам Крамера
  29.1. Решение квадратных с.л.у. с помощью обратной
матрицы. Рассмотрим квадратную с.л.у.

                             A · x̄ = b̄ .                      (29.1)
                           n×n   n×1     n×1

   Предложение 29.1. Если матрица A обратима (или, что равно-
сильно, неособа), то с.л.у. (29.1) является совместной и определенной
и ее единственное решение может быть найдено по формуле

                              x̄ = A−1 · b̄.                    (29.2)


  Доказательство. Матричное равенство (29.1) заменится на рав-
носильное, если его домножить слева на (существующую по предпо-
ложению) обратную матрицу A−1 :

                        A−1 · (A · x̄) = A−1 · b̄.

  В силу ассоциативности матричного умножения и определения об-
ратной матрицы, последнее равенство равносильно равенству (29.2),
дающему единственное решение системы (29.1). ¤
   Замечание 29.1. В отличие от метода Гаусса, который применим к
любым с.л.у., метод обратной матрицы применим лишь к квадрат-
ным системам с обратимыми матрицами. У него есть единственное
(теоретическое) преимущество: явное выражение для ответа.
   Но и это преимущество может оказаться мнимым, если для вы-
числения обратной матрицы используется не дающий явного ответа