Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 28 Присоединенная матрица 231
Замечание 28.2. Из замечания 27.2 следует, что отображение вы-
числения определителя согласовано с операциями умножения мат-
риц и скаляров. В частности, можно заключить, что определи-
тель оратимой матрицы является обратимым (или, что равносильно,
ненулевым) скаляром. Так возникает гомоморфизм (определение го-
моморфизма см. в п. 20.2)
det : GL(n, R) −→ R
∗
группы обратимых (n×n)-матриц (см. замечание 14.3) в группу нену-
левых действительных чисел.
28.3. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помо-
щью присоединенной. В п. 14.6 был изложен алгоритм Ж.—Г.
исследования квадратной матрицы на обратимость и отыскания об-
ратной матрицы (в случае обратимости данной). Сейчас мы изло-
жим и покажем на примере второй алгоритм. В вычислительном
отношении он отнюдь не лучше первого, однако обладает (теоре-
тическим) преимуществом — для обратной матрицы выписывается
явная формула (тогда как в первом алгоритме реализуется другой
подход: хочешь вычислить — вычисляй; что получится — то и от-
вет).
Пусть дана квадратная матрица A размера n × n.
1. Для каждого элемента a
ij
вычислим алгебраическое дополне-
ние A
ij
(оно является определителем (n − 1)-го порядка). Составим
из алгебраических дополнений матрицу
˜
A.
2. Вычислим определитель det(A), используя ранее найденные
алгебраические дополнения и разлагая определитель по какой-либо
строке (какому-либо столбцу). Если этот определитель равен нулю,
то данная матрица необратима.
3. Если det(A) 6= 0, то матрица A обратима. Вычислим присоеди-
ненную матрицу A
∨
, транспонировав матрицу
˜
A.
4. Вычислим обратную матрицу, поделив присоединенную матри-
цу на det(A):
A
−1
=
1
det(A)
A
∨
. (28.7)
Пример 28.1. Перерешаем с помощью второго алгоритма при-
мер 14.2.
A =
1 1 −1
0 −1 −1
λ 0 1
;
§ 28               Присоединенная матрица                    231

  Замечание 28.2. Из замечания 27.2 следует, что отображение вы-
числения определителя согласовано с операциями умножения мат-
риц и скаляров. В частности, можно заключить, что определи-
тель оратимой матрицы является обратимым (или, что равносильно,
ненулевым) скаляром. Так возникает гомоморфизм (определение го-
моморфизма см. в п. 20.2)

                      det : GL(n, R) −→ R∗

группы обратимых (n×n)-матриц (см. замечание 14.3) в группу нену-
левых действительных чисел.
   28.3. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помо-
щью присоединенной. В п. 14.6 был изложен алгоритм Ж.—Г.
исследования квадратной матрицы на обратимость и отыскания об-
ратной матрицы (в случае обратимости данной). Сейчас мы изло-
жим и покажем на примере второй алгоритм. В вычислительном
отношении он отнюдь не лучше первого, однако обладает (теоре-
тическим) преимуществом — для обратной матрицы выписывается
явная формула (тогда как в первом алгоритме реализуется другой
подход: хочешь вычислить — вычисляй; что получится — то и от-
вет).
   Пусть дана квадратная матрица A размера n × n.
   1. Для каждого элемента aij вычислим алгебраическое дополне-
ние Aij (оно является определителем (n − 1)-го порядка). Составим
из алгебраических дополнений матрицу Ã.
   2. Вычислим определитель det(A), используя ранее найденные
алгебраические дополнения и разлагая определитель по какой-либо
строке (какому-либо столбцу). Если этот определитель равен нулю,
то данная матрица необратима.
   3. Если det(A) 6= 0, то матрица A обратима. Вычислим присоеди-
ненную матрицу A∨ , транспонировав матрицу Ã.
   4. Вычислим обратную матрицу, поделив присоединенную матри-
цу на det(A):
                                    1
                           A−1 =        A∨ .                (28.7)
                                 det(A)
  Пример 28.1. Перерешаем с     помощью второго алгоритма при-
мер 14.2.                              
                         1      1    −1
                   A = 0       −1   −1  ;
                         λ       0   1

Страницы