Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 229 стр.

§ 28                Присоединенная матрица                      229

   Доказательство. Докажем одно из равенств (28.3), второе дока-
зывается абсолютно аналогично.
   Надо перемножить матрицы A и A∨ . Произведение i-й строки мат-
рицы A на k-й столбец матрицы A∨ есть не что иное, как сумма
произведений элементов i-й строки матрицы A на алгебраические
дополнения к элементам ее k-й строки. В силу формулы (25.11t),
эта сумма равна det(A)δik .
   Теперь все доказано: результат перемножения оказывается ска-
лярной матрицей, равной произведению единичной матрицы (с эле-
ментами δik ) на скаляр det(A). ¤
   28.2. Неособые матрицы. Вторая теорема об условиях об-
ратимости матрицы. Вторую теорему об условиях обратимости
квадратной матрицы мы сформулируем так, чтобы она включала в
себя первую (см. теорему 14.1). Сначала дадим следующее
   Определение 28.2. Квадратная матрица называется неособой,
если ее определитель отличен от нуля, и особой — в противном случае
(если определитель равен нулю).
  Теорема 28.1 (вторая теорема об условиях обратимости матри-
цы). Пусть A — квадратная матрица. Следующие три утверждения
равносильны:
  (1) матрица A обратима;
  (2) матрица A невырождена;
  (3) матрица A неособа.
   Доказательство. Равносильность утверждений (1) и (2) состав-
ляла содержание первой теоремы об условиях обратимости. Дока-
жем равносильность (1) и (3).
   Пусть матрица A обратима, т. е. существует такая матрица B, что
A · B = B · A = E. Применяя мультипликативное свойство определи-
теля (см. теорему 27.2), получим:

                        det(A) · det(B) = 1.                   (28.4)

  Из (28.4) следует, что det(A) 6= 0, т. е. матрица A является неосо-
бой.
  Обратно, пусть A — неособа. Рассмотрим присоединенную мат-
рицу A∨ и поделим ее на скаляр det(A) 6= 0, т. е. образуем матрицу

                                  1
                          B=          A∨ .                     (28.5)
                               det(A)