Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

228 Теория определителей Гл. 4
Формула (27.10) доказана. ¤
Замечание 27.2. Свойство (27.10) можно интерпретировать как
согласованность отображения
det : L(n, R) −→ R
с операциями умножения в кольце квадратных матриц L(n, R) и в
поле R.
§
§
§ 28. Присоединенная матрица.
Выражение обратной матрицы
через присоединенную
28.1. Определение и основное свойство присоединенной
матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу A
n×n
. Из алгебраиче-
ских дополнений A
ij
к элементам a
ij
матрицы A можно составить
новую матрицу:
˜
A
n×n
=
A
11
A
12
... A
1n
A
21
A
22
... A
2n
... ... ... ...
A
n1
A
An2
... A
nn
. (28.1)
Определение 28.1. Матрица, транспонированная к матрице ал-
гебраических дополнений (28.1), называется присоединенной матри-
цей для матрицы A. Обозначение:
A
∨
= (
˜
A)
t
=
A
11
A
21
... A
n1
A
12
A
22
... A
n2
... ... ... ...
A
1n
A
2n
... A
nn
. (28.2)
Предложение 28.1. Для любой квадратной матрицы A спра-
ведливы равенства
A · A
∨
= A
∨
· A = det(A) · E. (28.3)
228                 Теория определителей                  Гл. 4

  Формула (27.10) доказана. ¤
   Замечание 27.2. Свойство (27.10) можно интерпретировать как
согласованность отображения

                       det : L(n, R) −→ R

с операциями умножения в кольце квадратных матриц L(n, R) и в
поле R.



           § 28. Присоединенная матрица.
            Выражение обратной матрицы
               через присоединенную

  28.1. Определение и основное свойство присоединенной
матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу A . Из алгебраиче-
                                               n×n
ских дополнений Aij к элементам aij матрицы A можно составить
новую матрицу:
                                              
                       A11      A12    ... A1n
                      A        A22    ... A2n 
                 Ã =  21                     .         (28.1)
                n×n     ...      ...   ... ...
                       An1      AAn2   ... Ann

   Определение 28.1. Матрица, транспонированная к матрице ал-
гебраических дополнений (28.1), называется присоединенной матри-
цей для матрицы A. Обозначение:
                                                 
                            A11    A21    ... An1
                           A      A22    ... An2 
              A∨ = (Ã)t =  12                   .      (28.2)
                             ...    ...   ... ...
                            A1n    A2n    ... Ann

  Предложение 28.1. Для любой квадратной матрицы A спра-
ведливы равенства

                  A · A∨ = A∨ · A = det(A) · E.           (28.3)

Страницы