Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

226 Теория определителей Гл. 4
Но для номеров i, j ∈ {1, ..., m} имеем a
ij
= b
ij
. Кроме того, все
диагональные элементы a
ii
при i = m + 1, ..., n равны единице. С
учетом этого
f(E) =
X
σ
0
∈S
m
b
σ
0
(1) 1
...b
σ
0
(m) m
(23.3t)
=== det(B).
С помощью теоремы 26.1 окончательно получается:
f(C) = det(C) · f(E) = det(C) · det(B).
Формула (27.2) доказана. ¤
Замечание 27.1. Стандартным индуктивным рассуждением фор-
мула (27.2) обобщается на случай матриц A более сложного блочного
строения, разбитых, скажем, на s
2
блоков, из которых s (диагональ-
ных) являются квадратными. В предположении, что все блоки, рас-
положенные ниже (выше) главной диагонали, являются нулевыми,
справедливо утверждение: определитель матрицы A равен произве-
дению определителей диагональных блоков.
27.2. Мультипликативное свойство определителя. Рассмо-
трим две квадратные матрицы A, B ∈ L(n, R) и их произведение
C = A · B. (27.9)
Теорема 27.2. Определитель произведения матриц равен произ-
ведению определителей матриц-сомножителей:
det(A · B) = det(A) ·det(B). (27.10)
Доказательство. По правилу умножения матриц (см. п. 1.2), при
умножении матрицы B слева на матрицу A каждый столбец матри-
цы B умножается на A:
C = A · (
¯
b
1
|
¯
b
2
|...|
¯
b
n
) = (A
¯
b
1
|A
¯
b
2
|...|A
¯
b
n
). (27.11)
Зафиксируем матрицу A и рассмотрим функцию
f(B) = det(A · B) = det(A
¯
b
1
|A
¯
b
2
|...|A
¯
b
n
) (27.12)
226                     Теория определителей                               Гл. 4

  Но для номеров i, j ∈ {1, ..., m} имеем aij = bij . Кроме того, все
диагональные элементы aii при i = m + 1, ..., n равны единице. С
учетом этого
                        X                             (23.3t)
             f (E) =             bσ0 (1) 1 ...bσ0 (m) m === det(B).
                       σ 0 ∈Sm


  С помощью теоремы 26.1 окончательно получается:

               f (C) = det(C) · f (E) = det(C) · det(B).

  Формула (27.2) доказана. ¤
  Замечание 27.1. Стандартным индуктивным рассуждением фор-
мула (27.2) обобщается на случай матриц A более сложного блочного
строения, разбитых, скажем, на s2 блоков, из которых s (диагональ-
ных) являются квадратными. В предположении, что все блоки, рас-
положенные ниже (выше) главной диагонали, являются нулевыми,
справедливо утверждение: определитель матрицы A равен произве-
дению определителей диагональных блоков.
  27.2. Мультипликативное свойство определителя. Рассмо-
трим две квадратные матрицы A, B ∈ L(n, R) и их произведение

                                    C = A · B.                             (27.9)

  Теорема 27.2. Определитель произведения матриц равен произ-
ведению определителей матриц-сомножителей:

                       det(A · B) = det(A) · det(B).                      (27.10)



  Доказательство. По правилу умножения матриц (см. п. 1.2), при
умножении матрицы B слева на матрицу A каждый столбец матри-
цы B умножается на A:

              C = A · (b̄1 | b̄2 |...| b̄n ) = (Ab̄1 |Ab̄2 |...|Ab̄n ).   (27.11)

  Зафиксируем матрицу A и рассмотрим функцию

              f (B) = det(A · B) = det(Ab̄1 |Ab̄2 |...|Ab̄n )             (27.12)

Страницы