Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

224 Теория определителей Гл. 4
Теорема 27.1. Определитель верхней (нижней) блочно-треу-
гольной матрицы равен произведению определителей диагональных
блоков:
det(A) = det(B) · det(C). (27.2)
Доказательство. При транспонировании верхняя блочно-треуго-
льная матрица превращается в нижнюю блочно-треугольную и на-
оборот. А определитель при транспонировании не меняется. Поэто-
му достаточно доказать теорему лишь для одного из типов блочно-
треугольных матриц.
Рассмотрим матрицы типа (27.1t). Зафиксируем блоки B и D и
будем представлять det(A) как функцию квадратной (l × l)-матри-
цы C:
f(C) = det
B
m×m
D
l×m
¯
¯
¯
¯
¯
¯
O
m×l
C
l×l
. (27.3)
Докажем, что функция (27.3) является полилинейной и антисим-
метрической.
Пусть какой-либо столбец ¯c в матрице C представлен как сумма
двух столбцов: ¯c = ¯c
0
+ ¯c
00
. Рассмотрим соответствующие матрицы
C
0
и C
00
, введя их по тому же принципу, что и при доказательстве
теоремы 24.1.
Требуется доказать равенство
f(C) = f(C
0
) + f(C
00
). (27.4)
Поскольку столбцы матрицы C в блочной матрице A продолжа-
ются (вверх) нулями, то можно считать, что и в матрице A соответ-
ствующий столбец ¯a представлен как сумма столбцов: ¯a = ¯a
0
+ ¯a
00
(верхние части столбцов ¯a
0
и ¯a
00
— нулевые). Сформируем матри-
цы A
0
и A
00
(напомним, что они отличаются от A лишь по одному
столбцу).
В силу теоремы 24.1, определитель является полилинейной функ-
цией. Поэтому det(A) = det(A
0
) + det(A
00
), что, по определению
функции f, равносильно (27.4).
Пусть теперь в каком-либо столбце матрицы C имеется общий ска-
лярный множитель λ. Тогда можно считать, что этот же множитель
является общим для соответствующего столбца в A. В силу полили-
нейности определителя, λ можно вынести из-под знака det(A) и тем
самым из-под знака f(C).
224                  Теория определителей                    Гл. 4

  Теорема 27.1. Определитель верхней (нижней) блочно-треу-
гольной матрицы равен произведению определителей диагональных
блоков:
                    det(A) = det(B) · det(C).            (27.2)


  Доказательство. При транспонировании верхняя блочно-треуго-
льная матрица превращается в нижнюю блочно-треугольную и на-
оборот. А определитель при транспонировании не меняется. Поэто-
му достаточно доказать теорему лишь для одного из типов блочно-
треугольных матриц.
  Рассмотрим матрицы типа (27.1t). Зафиксируем блоки B и D и
будем представлять det(A) как функцию квадратной (l × l)-матри-
цы C:                                ¯ 
                                   B ¯¯ O
                                  m×m¯m×l
                     f (C) = det         .              (27.3)
                                   D ¯¯ C
                                  l×m l×l

   Докажем, что функция (27.3) является полилинейной и антисим-
метрической.
   Пусть какой-либо столбец c̄ в матрице C представлен как сумма
двух столбцов: c̄ = c̄0 + c̄00 . Рассмотрим соответствующие матрицы
C 0 и C 00 , введя их по тому же принципу, что и при доказательстве
теоремы 24.1.
   Требуется доказать равенство
                      f (C) = f (C 0 ) + f (C 00 ).          (27.4)
   Поскольку столбцы матрицы C в блочной матрице A продолжа-
ются (вверх) нулями, то можно считать, что и в матрице A соответ-
ствующий столбец ā представлен как сумма столбцов: ā = ā0 + ā00
(верхние части столбцов ā0 и ā00 — нулевые). Сформируем матри-
цы A0 и A00 (напомним, что они отличаются от A лишь по одному
столбцу).
   В силу теоремы 24.1, определитель является полилинейной функ-
цией. Поэтому det(A) = det(A0 ) + det(A00 ), что, по определению
функции f, равносильно (27.4).
   Пусть теперь в каком-либо столбце матрицы C имеется общий ска-
лярный множитель λ. Тогда можно считать, что этот же множитель
является общим для соответствующего столбца в A. В силу полили-
нейности определителя, λ можно вынести из-под знака det(A) и тем
самым из-под знака f (C).

Страницы