Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 222 стр.

222                        Теория определителей                                      Гл. 4

свойство (24.6) кососимметрических функций позволит нам заклю-
чить, что
                       f (E 0 ) = sgn(σ)f (E).           (26.5)
   Выбросив в n-кратной сумме (26.2) нулевые слагаемые, отвечаю-
щие матрицам E 0 с повторяющимися столбцами, мы получим сумму,
содержащую n! слагаемых, каждое из которых соответствует неко-
торой перестановке (26.4):
                    X
          f (A) =          ai1 1 ai2 2 ...ain n sgn(σ)f (E) =
                    σ∈Sn
      Ã                                          !
          X                                                    (23.3t)
  =           sgn(σ)aσ(1) 1 aσ(2) 2 ...aσ(n )n       · f (E)     =       det(A) · f (E).
      σ∈Sn


  Формула (26.1) доказана. ¤
  26.2. Аксиоматический подход к определению опреде-
лителя. Итак, произвольная полилинейная и антисимметрическая
функция f (A) от столбцов квадратной матрицы A отличается от
определителя det(A) лишь постоянным (не зависящим от A) множи-
телем, равным значению f (E).
  В частности, если выполнено условие нормировки

                                     f (E) = 1,                                      (26.6)

то функция f однозначно определена — она тождественно совпадает
с функцией det .
   Это служит основанием для аксиоматического подхода к постро-
ению теории определителей.
   Можно определить определитель как такую функцию от столбцов
квадратной матрицы, которая
   1) полилинейна,
   2) антисимметрична,
   3) удовлетворяет условию нормировки.
   Далее, рассуждением, практически идентичным доказательству
теоремы 26.1, можно установить, что такая функция существует и
однозначно определена.
   Формулы полного разложения (23.3) и (23.3t), фигурировавшие
ранее как определения, при этом подходе получались бы как след-
ствия.