Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

220 Теория определителей Гл. 4
§
§
§ 26. Описание всех полилинейных
и антисимметрических функций
от столбцов (строк) квадратной матрицы
26.1. Теорема о полилинейных и антисимметрических
функциях от столбцов (строк) квадратной матрицы. В тео-
реме 24.1 мы доказали, что функция det( A
n×n
) является полилиней-
ной и антисимметрической, если ее рассматривать как функцию от
n векторов-столбцов (векторов-строк) матрицы A.
Оказывается, однако, что свойства полилинейности и антисим-
метричности "почти однозначно" (а именно однозначно с точностью
до скалярного множителя) определяют функцию от столбцов квад-
ратной матрицы. (Далее мы будем говорить только о столбцах, но
вы должны понимать, что все сказанное может быть отнесено и к
строкам матрицы.)
Теорема 26.1. Пусть f : L(n, R) −→ R полилинейная и антисим-
метрическая функция от столбцов квадратной матрицы. Тогда для
любой матрицы A ∈ L(n, R) справедлива формула
f(A) = det(A) · f(E), (26.1)
т. е. функции f и det отличаются лишь постоянным скалярным мно-
жителем, равным значению функции f на единичной матрице
E ∈ L(n, R).
Доказательство. Разобьем данную матрицу A ∈ L(n, R) на сто-
лбцы ¯a
k
(k = 1, ..., n). Функция f линейна по каждому из ¯a
k
.
Представим первый столбец его разложением по естественному
базису E в пространстве R
n
, т. е. запишем его в виде линейной ком-
бинации:
¯a
1
=
n
X
i
1
=1
a
i
1
1
¯e
i
1
.
В силу полилинейности f , получим:
f(A) = f(
n
X
i
1
=1
a
i
1
1
¯
e
i
1
,
¯
a
2
, ...,
¯
a
n
) =
n
X
i
1
=1
a
i
1
1
f(¯e
i
1
,
¯
a
2
, ...,
¯
a
n
).
Аналогичным образом разложим второй столбец:
¯a
2
=
n
X
i
2
=1
a
i
2
2
¯e
i
2
.
220                       Теория определителей                                                        Гл. 4

          § 26. Описание всех полилинейных
           и антисимметрических функций
      от столбцов (строк) квадратной матрицы
  26.1. Теорема о полилинейных и антисимметрических
функциях от столбцов (строк) квадратной матрицы. В тео-
реме 24.1 мы доказали, что функция det( A ) является полилиней-
                                                                 n×n
ной и антисимметрической, если ее рассматривать как функцию от
n векторов-столбцов (векторов-строк) матрицы A.
   Оказывается, однако, что свойства полилинейности и антисим-
метричности "почти однозначно" (а именно однозначно с точностью
до скалярного множителя) определяют функцию от столбцов квад-
ратной матрицы. (Далее мы будем говорить только о столбцах, но
вы должны понимать, что все сказанное может быть отнесено и к
строкам матрицы.)
  Теорема 26.1. Пусть f : L(n, R) −→ R полилинейная и антисим-
метрическая функция от столбцов квадратной матрицы. Тогда для
любой матрицы A ∈ L(n, R) справедлива формула
                              f (A) = det(A) · f (E),                                                 (26.1)
т. е. функции f и det отличаются лишь постоянным скалярным мно-
жителем, равным значению функции f на единичной матрице
E ∈ L(n, R).
  Доказательство. Разобьем данную матрицу A ∈ L(n, R) на сто-
лбцы āk (k = 1, ..., n). Функция f линейна по каждому из āk .
  Представим первый столбец его разложением по естественному
базису E в пространстве Rn , т. е. запишем его в виде линейной ком-
бинации:
                                   n
                                   X
                             ā1 =   ai1 1 ēi1 .
                                          i1 =1

  В силу полилинейности f , получим:
                    n
                    X                                     n
                                                          X
      f (A) = f (       ai1 1 ēi1 , ā2 , ..., ān ) =           ai1 1 f (ēi1 , ā2 , ..., ān ).
                i1 =1                                     i1 =1

  Аналогичным образом разложим второй столбец:
                                           n
                                           X
                                  ā2 =           ai2 2 ēi2 .
                                          i2 =1

Страницы