Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Описание полилинейных антисимметрических функций 221
После подстановки полученного разложения в предыдущее выра-
жение для f(A) и внесения множителя a
i
1
1
под знак второй суммы
получим двойную сумму (содержащую уже n
2
слагаемых):
f(A) =
n
X
i
1
=1
a
i
1
1
n
X
i
2
=1
a
i
2
2
f(¯e
i
1
, ¯e
i
2
, ..., ¯a
n
) =
=
n
X
i
1
=1
n
X
i
2
=1
a
i
1
1
a
i
2
2
f(¯e
i
1
,
¯
e
i
2
, ...,
¯
a
n
).
И так далее. (Обратите внимание на то, что для корректной за-
писи двойной суммы индексы суммирования в двух суммах должны
быть разными: при разложении первого столбца мы использовали
индекс i
1
, а при разложении второго — индекс i
2
. Так же мы будем
поступать и далее.)
После n-кратного применения описанной процедуры мы получим
n-кратную сумму (содержащую n
n
слагаемых):
f(A) =
n
X
i
1
=1
n
X
i
2
=1
···
n
X
i
n
=1
a
i
1
1
a
i
2
2
...a
i
n
n
f(¯e
i
1
,
¯
e
i
2
, ...,
¯
e
i
n
) =
=
n
X
i
1
=1
n
X
i
2
=1
···
n
X
i
n
=1
a
i
1
1
a
i
2
2
...a
i
n
n
f(E
0
), (26.2)
где
E
0
= (¯e
i
1
|¯e
i
2
|...|¯e
i
n
) (26.3)
— матрица, составленная из векторов базиса E (не обязательно иду-
щих по порядку и не обязательно различных).
Из формулы (26.2) следует, что значение функции f на произ-
вольной (n ×n)-матрице A будет однозначно определено, если будут
определены значения f на матрицах вида (26.3).
Если в матрице (26.3) имеются одинаковые столбцы, то, в си-
лу антисимметричности функции f (см. замечание 24.2), значение
f(E
0
) = 0.
В противном случае, т. е. если номера i
1
, i
2
, ..., i
n
попарно различ-
ны и, следовательно, задают некоторую перестановку
σ =
µ
1 2 ... n
i
1
i
2
... i
n
; σ(k) = i
k
; k = 1, ..., n, (26.4)
§ 26 Описание полилинейных антисимметрических функций 221

  После подстановки полученного разложения в предыдущее выра-
жение для f (A) и внесения множителя ai1 1 под знак второй суммы
получим двойную сумму (содержащую уже n2 слагаемых):

                           n
                           X               n
                                           X
              f (A) =              ai1 1            ai2 2 f (ēi1 , ēi2 , ..., ān ) =
                           i1 =1           i2 =1
                           X n       n
                                     X
                       =                   ai1 1 ai2 2 f (ēi1 , ēi2 , ..., ān ).
                           i1 =1 i2 =1


   И так далее. (Обратите внимание на то, что для корректной за-
писи двойной суммы индексы суммирования в двух суммах должны
быть разными: при разложении первого столбца мы использовали
индекс i1 , а при разложении второго — индекс i2 . Так же мы будем
поступать и далее.)
   После n-кратного применения описанной процедуры мы получим
n-кратную сумму (содержащую nn слагаемых):

                 n X
                 X n                  n
                                      X
       f (A) =                 ···           ai1 1 ai2 2 ...ain n f (ēi1 , ēi2 , ..., ēin ) =
                 i1 =1 i2 =1         in =1
                 X n X   n            Xn
             =                 ···           ai1 1 ai2 2 ...ain n f (E 0 ),                        (26.2)
                 i1 =1 i2 =1         in =1

где
                                 E 0 = (ēi1 |ēi2 |...|ēin )                                     (26.3)
— матрица, составленная из векторов базиса E (не обязательно иду-
щих по порядку и не обязательно различных).
   Из формулы (26.2) следует, что значение функции f на произ-
вольной (n × n)-матрице A будет однозначно определено, если будут
определены значения f на матрицах вида (26.3).
   Если в матрице (26.3) имеются одинаковые столбцы, то, в си-
лу антисимметричности функции f (см. замечание 24.2), значение
f (E 0 ) = 0.
   В противном случае, т. е. если номера i1 , i2 , ..., in попарно различ-
ны и, следовательно, задают некоторую перестановку
                  µ                             ¶
                      1    2         ...   n
            σ=                                      ; σ(k) = ik ; k = 1, ..., n,                   (26.4)
                      i1   i2        ...   in

Страницы