Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

218 Теория определителей Гл. 4
Доказательство. Проведем рассуждение для столбцов; рассуж-
дение для строк — совершенно аналогично.
Рассмотрим сумму элементов j-го столбца на ("чужие") алгеб-
раические дополнения к соответствующим элементам k-го столбца
(k 6= j).
Эту сумму можно рассматривать как разложение по k-му столбцу
определителя (с двумя одинаковыми столбцами ¯a
k
= ¯a
j
):
a
1j
A
1k
+ a
2j
A
2k
+ ... + a
nj
A
nk
= det(¯a
1
|...|¯a
j
(j)
|...|¯a
j
(k)
|...|¯a
n
).
(Здесь мы пользуемся тем фактом, что алгебраическое дополне-
ние к элементу определителя зависит не от этого элемента, а от его
позиции в матрице; см. замечание 25.1.)
В силу предложения 24.1, последний определитель равен нулю. ¤
Замечание 25.3. Можно выписать формулы, охватывающие как
случай, когда элементы столбца (строки) умножаются на "свои" ал-
гебраические дополнения, так и случай, когда они умножаются на
"чужие" алгебраические дополнения:
n
X
i=1
a
ij
A
ik
= δ
jk
det(A); (25.11)
n
X
j=1
a
ij
A
kj
= δ
ik
det(A). (25.11t)
25.4. Индуктивный алгоритм вычисления определите-
ля. Предположим, требуется вычислить некоторый определитель
n-го порядка. С помощью теоремы Лапласа разложим его по какой-
либо строке (или по какому-либо столбцу), используя формулу (25.9)
или (25.9t). (На практике, при ручном счете, приходится выбирать
строку или столбец "попроще", в которых "побольше нулей".) В ре-
зультате получится линейная комбинация не более чем n определи-
телей (n −1)-го порядка. С каждым из них поступаем аналогичным
образом, пока не дойдем до определителей второго порядка (а если
угодно — то и до первого).
Вот и весь "алгоритм". Беда в том, что его вычислительная слож-
ность — того же уровня, что и у формул полного разложения (23.3)
и (23.3t). Таким способом можно подсчитать только определители
невысокого порядка. В этом плане разобранный в предыдущем па-
раграфе алгоритм Гаусса — вне конкуренции.
Тем не менее, ввиду теоретической важности индуктивного алго-
ритма, пересчитаем с его помощью пример 24.1.
218                      Теория определителей                                     Гл. 4

   Доказательство. Проведем рассуждение для столбцов; рассуж-
дение для строк — совершенно аналогично.
   Рассмотрим сумму элементов j-го столбца на ("чужие") алгеб-
раические дополнения к соответствующим элементам k-го столбца
(k 6= j).
   Эту сумму можно рассматривать как разложение по k-му столбцу
определителя (с двумя одинаковыми столбцами āk = āj ):
      a1j A1k + a2j A2k + ... + anj Ank = det(ā1 |...|āj |...|āj |...|ān ).
                                                            (j)    (k)

  (Здесь мы пользуемся тем фактом, что алгебраическое дополне-
ние к элементу определителя зависит не от этого элемента, а от его
позиции в матрице; см. замечание 25.1.)
  В силу предложения 24.1, последний определитель равен нулю. ¤
   Замечание 25.3. Можно выписать формулы, охватывающие как
случай, когда элементы столбца (строки) умножаются на "свои" ал-
гебраические дополнения, так и случай, когда они умножаются на
"чужие" алгебраические дополнения:
                     Xn
                         aij Aik = δjk det(A);           (25.11)
                           i=1
                           Xn
                                 aij Akj = δik det(A).                       (25.11t)
                           j=1
   25.4. Индуктивный алгоритм вычисления определите-
ля. Предположим, требуется вычислить некоторый определитель
n-го порядка. С помощью теоремы Лапласа разложим его по какой-
либо строке (или по какому-либо столбцу), используя формулу (25.9)
или (25.9t). (На практике, при ручном счете, приходится выбирать
строку или столбец "попроще", в которых "побольше нулей".) В ре-
зультате получится линейная комбинация не более чем n определи-
телей (n − 1)-го порядка. С каждым из них поступаем аналогичным
образом, пока не дойдем до определителей второго порядка (а если
угодно — то и до первого).
   Вот и весь "алгоритм". Беда в том, что его вычислительная слож-
ность — того же уровня, что и у формул полного разложения (23.3)
и (23.3t). Таким способом можно подсчитать только определители
невысокого порядка. В этом плане разобранный в предыдущем па-
раграфе алгоритм Гаусса — вне конкуренции.
   Тем не менее, ввиду теоретической важности индуктивного алго-
ритма, пересчитаем с его помощью пример 24.1.

Страницы