Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 25 Разложение определителя по столбцу (строке) 217
В последнем определителе переставим i-ю строку с каждой из
предыдущих, пока она не займет первую позицию; затем аналогич-
ным образом переставим j-й столбец, пока он не станет первым. По
свойству антисимметричности определителя [см. формулу (24.10)]
при этом "набежит" знаковый множитель
(−1)
i−1
(−1)
j−1
= (−1)
i+j−2
= (−1)
i+j
;
в левом верхнем углу определителя окажется единица, алгебраиче-
ское дополнение к которой (в новом определителе) будет совпадать
с минором M
ij
[для старого определителя; см. формулу (25.1)].
На последнем шаге останется применить предложение 25.1:
... =
n
X
i=1
a
ij
· (−1)
i+j
det
1 a
i1
... | ... a
in
0 a
11
... | ... a
1n
... ... ... | ... ...
−− −− −− −|− −− −−
... ... ... | ... ...
0 a
n1
... | ... a
nn
=
=
n
X
i=1
a
ij
· (−1)
i+j
M
ij
=
n
X
i=1
a
ij
A
ij
.
Формула (25.10) доказана. ¤
Замечание 25.2. Доказанная выше теорема является простейшим
частным случаем принадлежащей Лапласу теоремы о разложении
определителя по нескольким строкам (см., например, [9, гл. 4, § 5]).
25.3. Еще одно свойство алгебраических дополнений. Ес-
ли взять сумму произведений элементов какого-либо столбца (какой-
либо строки) определителя на соответствующие алгебраические до-
полнения, то, как утверждает теорема Лапласа, получится значение
этого определителя. Оказывается важным выяснить, что получит-
ся, если взять сумму произведений элементов некоторого столбца
(некоторой строки) определителя на алгебраические дополнения к
соответствующим элементам другого столбца (другой строки) опре-
делителя.
Точный результат дает следующее
Предложение 25.2. Сумма произведений элементов какого-ли-
бо столбца определителя на алгебраические дополнения к соотве-
тствующим элементам другого столбца равна нулю. Аналогичное
утверждение справедливо для строк определителя.
§ 25     Разложение определителя по столбцу (строке)           217

   В последнем определителе переставим i-ю строку с каждой из
предыдущих, пока она не займет первую позицию; затем аналогич-
ным образом переставим j-й столбец, пока он не станет первым. По
свойству антисимметричности определителя [см. формулу (24.10)]
при этом "набежит" знаковый множитель
              (−1)i−1 (−1)j−1 = (−1)i+j−2 = (−1)i+j ;
в левом верхнем углу определителя окажется единица, алгебраиче-
ское дополнение к которой (в новом определителе) будет совпадать
с минором Mij [для старого определителя; см. формулу (25.1)].
   На последнем шаге останется применить предложение 25.1:
                                                          
                               1    ai1     ... | ... ain
                             0     a11     ... | ... a1n 
         Xn                                               
                       i+j   ...    ...    ... | ...  ... 
   ... =     aij · (−1) det                               =
                             −− −− −− −|− −− −− 
         i=1                                              
                              ...    ...    ... | ...  ...
                               0    an1 ...     | ... ann
         Xn                   Xn
                       i+j
       =     aij · (−1) Mij =     aij Aij .
       i=1                   i=1

   Формула (25.10) доказана. ¤
  Замечание 25.2. Доказанная выше теорема является простейшим
частным случаем принадлежащей Лапласу теоремы о разложении
определителя по нескольким строкам (см., например, [9, гл. 4, § 5]).
   25.3. Еще одно свойство алгебраических дополнений. Ес-
ли взять сумму произведений элементов какого-либо столбца (какой-
либо строки) определителя на соответствующие алгебраические до-
полнения, то, как утверждает теорема Лапласа, получится значение
этого определителя. Оказывается важным выяснить, что получит-
ся, если взять сумму произведений элементов некоторого столбца
(некоторой строки) определителя на алгебраические дополнения к
соответствующим элементам другого столбца (другой строки) опре-
делителя.
   Точный результат дает следующее
   Предложение 25.2. Сумма произведений элементов какого-ли-
бо столбца определителя на алгебраические дополнения к соотве-
тствующим элементам другого столбца равна нулю. Аналогичное
утверждение справедливо для строк определителя.

Страницы