Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

216 Теория определителей Гл. 4
25.2. Теорема Лапласа о вычислении определителя раз-
ложением по строке (столбцу). Сейчас мы опишем (в форме
теоремы) давно знакомую вам индуктивную процедуру представле-
ния определителя n-го порядка в виде линейной комбинации n опре-
делителей (n − 1)-го порядка.
Теорема 25.1 (теорема Лапласа). Определитель квадратной мат-
рицы A ∈ L(n, R) равен сумме произведений элементов какого-либо
столбца (какой-либо строки) определителя на соответствующие ал-
гебраические дополнения, т. е.
det(A) =
n
X
i=1
a
ij
A
ij
(25.9)
для любого столбца с номером j = 1, ..., n, и
det(A) =
n
X
j=1
a
ij
A
ij
(25.9t)
для любой строки с номером i = 1, ..., n.
Доказательство. Докажем утверждение для разложения по сто-
лбцу. (Случай разложения по строке рассматривается совершенно
аналогично.)
Столбец ¯a
j
∈ R
n
, входящий в матрицу A, разложим по естествен-
ному базису в R
n
:
¯a
j
=
n
X
i=1
a
ij
¯e
i
; i = 1, ..., n (25.10)
— и воспользуемся полилинейностью определителя [см. формулы
(24.8) и (24.9)]:
det(A) = det(¯a
1
|...|¯a
j
|...|¯a
n
) =
= det(¯a
1
|...|
n
X
i=1
a
ij
¯e
i
|...|¯a
n
) =
n
X
i=1
a
ij
det(¯a
1
|...|¯e
i
|...|¯a
n
) =
=
n
X
i=1
a
ij
det
a
11
... 0 ... a
1n
... ... ... ... ...
a
i1
... 1 ... a
in
... ... ... ... ...
a
n1
... 0 ... a
nn
= ...
216                            Теория определителей                                              Гл. 4

   25.2. Теорема Лапласа о вычислении определителя раз-
ложением по строке (столбцу). Сейчас мы опишем (в форме
теоремы) давно знакомую вам индуктивную процедуру представле-
ния определителя n-го порядка в виде линейной комбинации n опре-
делителей (n − 1)-го порядка.
   Теорема 25.1 (теорема Лапласа). Определитель квадратной мат-
рицы A ∈ L(n, R) равен сумме произведений элементов какого-либо
столбца (какой-либо строки) определителя на соответствующие ал-
гебраические дополнения, т. е.
                                                  n
                                                  X
                                   det(A) =             aij Aij                                  (25.9)
                                                  i=1

для любого столбца с номером j = 1, ..., n, и
                                                  n
                                                  X
                                   det(A) =             aij Aij                                 (25.9t)
                                                  j=1

для любой строки с номером i = 1, ..., n.
  Доказательство. Докажем утверждение для разложения по сто-
лбцу. (Случай разложения по строке рассматривается совершенно
аналогично.)
  Столбец āj ∈ Rn , входящий в матрицу A, разложим по естествен-
ному базису в Rn :
                                       n
                                       X
                               āj =         aij ēi ; i = 1, ..., n                            (25.10)
                                       i=1

— и воспользуемся полилинейностью определителя [см. формулы
(24.8) и (24.9)]:

         det(A) = det(ā1 |...|āj |...|ān ) =
                         n
                         X                            n
                                                      X
       = det(ā1 |...|         aij ēi |...|ān ) =         aij det(ā1 |...|ēi |...|ān ) =
                         i=1                          i=1
                                                          
                       a11             ... 0       ... a1n
         Xn           ...             ... ...     ... ... 
                                                          
       =     aij det  ai1             ... 1       ... ain  = ...
                                                          
         i=1            ...            ... ...     ... ...
                       an1             ... 0       ... ann

Страницы