Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

214 Теория определителей Гл. 4
(−1)
i+j
определителю матрицы размера (n −1)×(n−1), полученной
из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Замечание 25.1. Данное выше определение можно выразить фор-
мулой:
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
;
M
ij
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
... a
1(j−1)
a
1(j+1)
... a
1n
... ... ... ... ... ...
a
(i−1)1
... a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)(j+1)
... a
(i−1)n
a
(i+1)1
... a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)(j+1)
... a
(i+1)n
... ... ... ... ... ...
a
n1
... a
n(j−1)
a
n(j+1)
... a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (25.1)
Заметьте, что A
ij
никак не зависит ни от элемента a
ij
, ни от дру-
гих элементов, расположенных в той же строке или в том же столбце,
что a
ij
. Можно сказать иначе: алгебраическое дополнение к элемен-
ту зависит не от самого элемента, а от его позиции в матрице.
В формуле (25.1) фигурирует также определитель M
ij
(без зна-
кового множителя). У него есть свое название — минор (n − 1)-го
порядка для (квадратной) матрицы A. Позже (см. § 30) мы познако-
мимся с минорами различных порядков (для произвольных прямо-
угольных матриц).
Сейчас мы сформулируем и докажем вспомогательное утвержде-
ние об определителях специального вида. Рассмотрим (n × n)-мат-
рицу A, имеющую в первом столбце все нулевые элементы, начиная
со второго:
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
0 a
n2
. . . a
nn
. (25.2)
Рассмотрим также блок размера (n − 1) × (n − 1)
A
0
=
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . .
a
n2
. . . a
nn
. (25.3)
Если нумеровать строки и столбцы матрицы A
0
как обычно, на-
чиная с 1, то мы получим:
a
0
ij
= a
(i+1)(j+1)
; i, j = 1, ..., n − 1. (25.4)
214                      Теория определителей                              Гл. 4

(−1)i+j определителю матрицы размера (n − 1) × (n − 1), полученной
из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
  Замечание 25.1. Данное выше определение можно выразить фор-
мулой:


                          Aij = (−1)i+j Mij ;
            ¯                                                         ¯
            ¯ a11       ...   a1(j−1)        a1(j+1)      ...   a1n ¯
            ¯                                                         ¯
            ¯ ...       ...     ...            ...        ...    ... ¯
            ¯                                                         ¯
            ¯a          ... a(i−1)(j−1)    a(i−1)(j+1)    ... a(i−1)n ¯
      Mij = ¯ (i−1)1                                                  ¯.   (25.1)
            ¯ a(i+1)1   ... a(i+1)(j−1)    a(i+1)(j+1)    ... a(i+1)n ¯
            ¯                                                         ¯
            ¯ ...       ...     ...            ...        ...    ... ¯
            ¯                                                         ¯
                an1     ...   an(j−1)        an(j+1)      ...   ann
   Заметьте, что Aij никак не зависит ни от элемента aij , ни от дру-
гих элементов, расположенных в той же строке или в том же столбце,
что aij . Можно сказать иначе: алгебраическое дополнение к элемен-
ту зависит не от самого элемента, а от его позиции в матрице.
   В формуле (25.1) фигурирует также определитель Mij (без зна-
кового множителя). У него есть свое название — минор (n − 1)-го
порядка для (квадратной) матрицы A. Позже (см. § 30) мы познако-
мимся с минорами различных порядков (для произвольных прямо-
угольных матриц).
   Сейчас мы сформулируем и докажем вспомогательное утвержде-
ние об определителях специального вида. Рассмотрим (n × n)-мат-
рицу A, имеющую в первом столбце все нулевые элементы, начиная
со второго:
                                            
                          a11 a12 . . . a1n
                         0 a22 . . . a2n 
                    A=                      .                (25.2)
                          ... ... ... ...
                           0 an2 . . . ann
  Рассмотрим также блок размера (n − 1) × (n − 1)
                                           
                          a22 . . . a2n
                   A0 =  . . . . . . . . .  .                            (25.3)
                          an2 . . . ann

  Если нумеровать строки и столбцы матрицы A0 как обычно, на-
чиная с 1, то мы получим:

                    a0ij = a(i+1)(j+1) ; i, j = 1, ..., n − 1.             (25.4)

Страницы