Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

212 Теория определителей Гл. 4
Доказательство. Свойство (1) справедливо для любых полили-
нейных функций (см. замечание 24.1).
Свойство (2) справедливо для любых полилинейных антисиммет-
рических функций, но рассуждение мы проведем для функции det,
применительно к столбцам.
Пусть в матрице A один столбец пропорционален другому. Поль-
зуясь полилинейностью, вынесем коэффициент пропорциональности
за знак определителя. В оставшемся определителе окажутся два
одинаковых столбца. В силу антисимметричности (см. замечание
24.2) этот определитель будет равен нулю.
Аналогичным образом дело обстоит и со свойством (3). На этот
раз мы оформим рассуждение подробнее.
Элементарное преобразование типа II над столбцами:
A = (¯a
1
|...|¯a
j
|...|¯a
k
|...|¯a
n
)
j
стб
+k
стб
·λ
−−−−−−→(¯a
1
|...|¯a
j
+ λ¯a
k
|...|¯a
k
|...|¯a
n
) = A
0
.
Значение определителя:
det(A
0
)
(24.8)
=====
(24.9)
det(A) + λ det(¯a
1
|...|¯a
k
|...|¯a
k
|...|¯a
n
) =
(24.10)
===== det(A) + λ · 0 = det(A).
Свойство (5) объяснено в замечании 24.4. ¤
24.4. Метод Гаусса вычисления определителей. При прак-
тическом вычислении определителей формулы полного разложения
(23.3) и (23.3t) применяются очень редко ввиду их чрезвычайно вы-
сокой вычислительной трудоемкости.
(В каждой из этих формул n! слагаемых, в каждом из которых
n сомножителей; функция n! с увеличением n растет быстрее по-
казательной. Точный смысл последних терминов станет вам изве-
стен значительно позже, однако интуитивно вы должны чувствовать
вычислительную неприемлемость формул, определяющих определи-
тель.)
Впрочем, из изученных выше свойств определителей ясно, что
при их вычислении можно применять хорошо знакомый нам метод
Гаусса, хотя в данной ситуации применение этого метода имеет ряд
очень существенных особенностей.
Основу метода Гаусса составляют элементарные преобразования
типов I — III над строками и столбцами матрицы.
212                          Теория определителей                                      Гл. 4

   Доказательство. Свойство (1) справедливо для любых полили-
нейных функций (см. замечание 24.1).
   Свойство (2) справедливо для любых полилинейных антисиммет-
рических функций, но рассуждение мы проведем для функции det,
применительно к столбцам.
   Пусть в матрице A один столбец пропорционален другому. Поль-
зуясь полилинейностью, вынесем коэффициент пропорциональности
за знак определителя. В оставшемся определителе окажутся два
одинаковых столбца. В силу антисимметричности (см. замечание
24.2) этот определитель будет равен нулю.
   Аналогичным образом дело обстоит и со свойством (3). На этот
раз мы оформим рассуждение подробнее.
   Элементарное преобразование типа II над столбцами:

                                   j стб +kстб ·λ
 A = (ā1 |...|āj |...|āk |...|ān ) −−−−−−→ (ā1 |...|āj + λāk |...|āk |...|ān ) = A0 .

  Значение определителя:

              (24.8)
  det(A0 ) ===== det(A) + λ det(ā1 |...|āk |...|āk |...|ān ) =
              (24.9)
                                                    (24.10)
                                                    ===== det(A) + λ · 0 = det(A).

  Свойство (5) объяснено в замечании 24.4. ¤
   24.4. Метод Гаусса вычисления определителей. При прак-
тическом вычислении определителей формулы полного разложения
(23.3) и (23.3t) применяются очень редко ввиду их чрезвычайно вы-
сокой вычислительной трудоемкости.
   (В каждой из этих формул n! слагаемых, в каждом из которых
n сомножителей; функция n! с увеличением n растет быстрее по-
казательной. Точный смысл последних терминов станет вам изве-
стен значительно позже, однако интуитивно вы должны чувствовать
вычислительную неприемлемость формул, определяющих определи-
тель.)
   Впрочем, из изученных выше свойств определителей ясно, что
при их вычислении можно применять хорошо знакомый нам метод
Гаусса, хотя в данной ситуации применение этого метода имеет ряд
очень существенных особенностей.
   Основу метода Гаусса составляют элементарные преобразования
типов I — III над строками и столбцами матрицы.

Страницы