Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

210 Теория определителей Гл. 4
Приступаем к доказательству формулы (24.10), которой можно
придать вид
det(A
0
) = −det(A), (24.10a)
где матрица A
0
получается из матрицы A перестановкой j-го и k-го
столбцов. Этот факт можно выразить равенствами
¯a
0
j
= ¯a
k
; ¯a
0
k
= ¯a
j
; ¯a
0
s
= ¯a
s
(s 6= j, k) (24.12)
или в координатах (для любого i = 1, ..., n):
a
0
ij
= a
ik
; a
0
ik
= a
ij
; a
0
is
= a
is
(s 6= j, k). (24.12a)
Снова используем формулу (23.3t) для определителя:
det(A
0
) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
0
σ(1) 1
...a
0
σ(j) j
...a
0
σ(k) k
...a
0
σ(n) n
=
(24.12a)
=
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...a
σ(j) k
...a
σ(k) j
...a
σ(n) n
= ...
Во второй сумме номера столбцов идут не по порядку, что легко
исправить, т. к. скалярные множители можно переставлять. Но и
после этого останется "нарушенным" соответствие между номерами
столбцов и строк, установленное перестановкой σ.
Это мы исправим введением новой переменной перестановки
ρ = στ, где τ — фиксированная транспозиция: τ = (j, k). Пере-
становка ρ действует следующим образом:
ρ(j) = σ(k); ρ(k) = σ(j); ρ(s) = σ(s) (s 6= j, k). (24.13)
По свойствам знака, sgn(σ) = −sgn(ρ). По предложению 16.2, если
переменная перестановка σ пробегает всю группу S
n
, то и новая пе-
ременная ρ = r
τ
(σ) пробегает S
n
. Можем продолжить вычисления:
... =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...a
σ(k) j
...a
σ(j) k
...a
σ(n) n
=
(24.13)
=
X
ρ∈S
n
(−sgn(ρ))a
ρ(1) 1
...a
ρ(j) j
...a
ρ(k ) k
...a
σ(n) n
= −det(A).
Что и требовалось доказать. ¤
210                            Теория определителей                                  Гл. 4

  Приступаем к доказательству формулы (24.10), которой можно
придать вид
                     det(A0 ) = − det(A),             (24.10a)
где матрица A0 получается из матрицы A перестановкой j-го и k-го
столбцов. Этот факт можно выразить равенствами

                        ā0j = āk ; ā0k = āj ; ā0s = ās (s 6= j, k)            (24.12)

или в координатах (для любого i = 1, ..., n):

               a0ij = aik ; a0ik = aij ; a0is = ais (s 6= j, k).                  (24.12a)

  Снова используем формулу (23.3t) для определителя:

                  X
  det(A0 ) =            sgn(σ)a0σ(1) 1 ...a0σ(j) j ...a0σ(k) k ...a0σ(n) n =
                 σ∈Sn
                    (24.12a)   X
                        =             sgn(σ)aσ(1) 1 ...aσ(j) k ...aσ(k) j ...aσ(n) n = ...
                               σ∈Sn

   Во второй сумме номера столбцов идут не по порядку, что легко
исправить, т. к. скалярные множители можно переставлять. Но и
после этого останется "нарушенным" соответствие между номерами
столбцов и строк, установленное перестановкой σ.
   Это мы исправим введением новой переменной перестановки
ρ = στ, где τ — фиксированная транспозиция: τ = (j, k). Пере-
становка ρ действует следующим образом:

          ρ(j) = σ(k); ρ(k) = σ(j); ρ(s) = σ(s) (s 6= j, k).                        (24.13)

  По свойствам знака, sgn(σ) = −sgn(ρ). По предложению 16.2, если
переменная перестановка σ пробегает всю группу Sn , то и новая пе-
ременная ρ = rτ (σ) пробегает Sn . Можем продолжить вычисления:
          X
  ... =          sgn(σ)aσ(1) 1 ...aσ(k) j ...aσ(j) k ...aσ(n) n =
          σ∈Sn
      (24.13)     X
           =            (−sgn(ρ))aρ(1) 1 ...aρ(j) j ...aρ(k) k ...aσ(n) n = − det(A).
                 ρ∈Sn

  Что и требовалось доказать. ¤

Страницы